СРЕДНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Средние величины в экономическом анализе

СРЕДНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Если совокупность величин состоит из множества единиц какого либо свойства, то средняя, отвлекаясь от их индивидуальных различий, характеризует то общее, типичное, что присуще всей совокупности в целом.

В средней величине компенсируется, погашаются случайные отклонения, присущие индивидуальным значениям, отражаются те общие свойства, под влиянием которых формировалась вся совокупность.

В этом проявляется в самом общем виде закон больших чисел.

Сам закон больших чисел состоит в постоянном погашении элемента случайности в сводных характеристиках совокупности по мере увеличения ее численности.

Вместе с тем, средняя величина, являясь обобщенной характеристикой совокупности в целом, не изменяет конкретных индивидуальных величин.

Средние величины имеют следующие виды: средняя арифметическая, средняя геометрическая, другие средние величины.

Средняя арифметическая величина представляет собой самый распространенный вид средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается именно средняя арифметическая.

Чтобы рассчитать среднюю арифметическую, складывают величины всех вариантов и делят эту сумму на общее число единиц.

Пусть, например, в бригаде насчитывается 5 рабочих имеющих различный возраст — 50 лет, 46 лет, 58 лет, 42 года, 44 года. Надо определить средний возраст работника данной бригады.

Для этого суммируются все варианты возраста рабочих и делят на общее число единиц, т.е. 5 — численный состав самой бригады.

Так как значения осредняемого признака не повторяются, то достаточно использовать среднюю арифметическую невзвешенную: , где n – объем совокупности.

Средняя величина в нашем примере характеризует средний возраст членов данной бригады, который составляет 48 лет.

Если перед нами встанет вопрос об определении среднего возраста рабочих другой бригады в составе 10 человек, с набором рабочих тех же возрастов, что и в предыдущей, но с тем отличием, что в этой бригаде рабочих в возрасте 42 года было 6 человек тогда средняя арифметическая получит общий вид средней взвешенной величины в таком выражении , т.е. около 40 лет будет средний возраст работников данной бригады. «Омоложение» состава данной бригады объясняется тем, что удельный вес лиц в возрасте 42 лет оказался выше других вариантов возраста членов бригады.

В данном случае мы использовали среднюю арифметическую взвешенную:

, где — значение осредняемого признака; — вес признака

Легко заметить, что средняя арифметическая взвешенная не имеет принципиальных отличий от простой средней арифметической, просто суммированием одного из повторяющихся вариантов, заменив его на частоту повторения данного вариантов (5 х 42) в нашем примере.

Естественно, что при этом величина средней зависит уже от соотношения их весов. Чем больше веса имеют малые значения вариантов, тем меньше величина средней и наоборот.

Например, общественно необходимое рабочее время, как средняя величина затрат на производство товара, определяет величину стоимости товара. Но это вовсе не значит, что если на одних предприятиях затрачивается 1 час труда, на других — 2 часа и на третьих — 3 часа, общественная стоимость товара определяется путем сложения указанных индивидуальных затрат (1+2+3) и деления их на три (6 : 3=2).

При определении общественно необходимого рабочего времени необходимо учитывать удельный вес различных категорий предприятий во всем общественном производстве.

Представим предыдущий пример с использованием весов, в % чтобы определить средневзвешенную величину общественно необходимого времени затрат на производство соответствующего товара. Двадцать процентов производителей имели затраты 1 час, 15% соответственно имели затраты 2 часа, и 65% предприятий имели затраты в 3 часа.

Средняя взвешенная величина (общественно необходимое рабочее время) определяется следующим образом:

Кроме средней арифметической величины существует средняя гармоническая, которая определяется на основе показателей, обратно-пропорционального содержания. Например, производительность труда можно выразить в натуральных показателях выработки продукции в штуках или наоборот, в показателях времени, затраченного на единицу произведенной продукции.

На основе указанных выше показателях производительности труда можно определить среднюю выработку (производительность труда) в штуках или в часах, минутах, затраченных на выполнение работы в течение смены. Тоже можно сказать о выполнении в процентах дневного задания отдельного цеха и в целом предприятия.

Например, предприятия А, В, С произвели продукции на 102%, 104%, 98%. Средняя арифметическая величина, полученная на основе сложения указанных величин и деления на 3, объективно не будет соответствовать состоянию дел. В этом случае необходимо использовать среднегармоническую величину.

Средний процент выполнения плана по трём предприятиям составит по нашему примеру следующий вид:

Наряду с рассмотренными выше различными средними величинами существуют еще и средняя геометрическая величина, которая высчитывается путем извлечения корня степени n из произведения отдельных значений признака

Средняя геометрическая:

— невзвешенная

взвешенная.

Основная область применения этого вида средней — это исчисление средних темпов роста показателей за различные промежутки времени.

Например, выпуск продукции предприятия в течение последовательных четырех лет составил 500, 650, 780 и 920 тыс. руб. Средний темп роста выпуска продукции за четырехлетие составит

Подобный способ исчисления среднего за период темпа роста означает линейное выравнивание динамического ряда.

Источник: https://studopedia.su/12_8555_srednie-velichini-v-ekonomicheskom-analize.html

8.3. Средние величины в статистике

СРЕДНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

› Статистика ›

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, являются средние показатели (средняя величина).

Средняя величина – представляет  обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Показатель в форме средней величинывыражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.

  • Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу.

Сущность средней заключается, в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенно­стей, присущих отдельным единицам.

ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН наиболее часто применяемых на практике:

  • средняя арифметическая;                     
  • средняя гармоническая;
  • средняя геометрическая;                       
  • средняя квадратическая.

Выбор средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

  • Средняя арифметическая простая (невзвешенная) – вычисляется  когда каждый вариант совокупности встречается только один раз.
  • Средняя арифметическая (взвешенная) вариантыповторяютсяразличное число раз, при этом число повторений вариантов называется частотой, или статистическим весом.

ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

  • Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней величины, рассчитывается по формуле (8.8):

(8.8 -формула средней арифметической простой)

  • где хi – вариант, а n – количество единиц  совокупности.

  • Пример вычисления средней арифметической простой. Провели опрос о желаемом размере заработной платы у пяти сотрудников  офиса.

    По результатам опроса выяснили, что желаемый размер заработной платы составляет соответственно для каждого сотрудника: 50000, 100000, 200000, 350000, 500000 рублей человек. Рассчитаем среднюю арифметическую простую по формуле (8.

    8):Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы  по результатам опроса 5-ти человек составил 240 тысяч рублей.

  • Средняя арифметическая взвешенная  формула 8.9.

(8.

9 -формула средней арифметической взвешенной)

  • где хi – вариант, а fi  – частота или статистический вес.
  • Пример вычисления  средней арифметической взвешенной. Результаты опроса всех работников офиса приведены в табл. 8.2.

Таблица 8.2 – Результаты опроса работников офиса

Желаемый размер заработной платы, тыс.руб

хi

Количество работников fiхifi
123

50

100

200

350

500

6

10

20

9

5

300

1000

4000

3150

2500

Итого5010950

Пример. Вычислим (ориентируясь на итоговые строки таблицы) желаемый размер заработной платы, 50 сотрудников офиса (используем формулу 8.9):

Пример вычисления средней арифметической взвешенной

Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы  по результатам опроса 50 человек составил 219 тысяч рублей.

Среднеарифметическая – всегда обобщающая количественная характеристика варьирующего признака совокупности.

  • Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда приходится суммировать не сами варианты, а обратные им величины.
  • Средняя гармоническая  простая представлена ниже:

(8.10 – формула средней гармонической простой)

Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле

(8.11- формула средней гармонической взвешенной)

где xi – вариант, n – количество вариантов, Vi – веса для обратных значений xi.

Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней, используемая значительно реже, чем взвешенная. Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером.

  • Пример (вычисление средней гармонической простой (невзвешенной)).

Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 5 мин., второй – 15 мин.

  • Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. если используем среднюю арифметическую простую получим: (5+15):2=10, мин.

  • Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа (60 минут) работы. За этот час первый работник обрабатывает 12 заказов (60:5), второй – 4 заказа (60:15), что в сумме составляет 16 заказов.

Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится: (60/10) + (60/10) = 12 заказов (что не соответствует истине).

  • Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (например, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов, т.е. используем среднюю гармоническую:

Пример средней гармонической невзвешенной

Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за час заказов не изменится: (60/7,5) + (60/7,5) = 16 заказов

  • Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения Wj для единиц совокупности равны (в рассмот­ренном примере рабочий день у сотрудников одинаковый).

    Пример (вычисление средней гармонической взвешенной) В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключено пять сделок. Данные о сумме продажи рублей и курсе рубля по отношению к доллару США приведены в табл.8.3.

    Таблица 8.3 – Данные о ходе торгов на валютной бирже (цифры условные)

    Номер сделкиСумма продажи V, млн руб.Курс рубля x, руб. за 1 дол.V/x
    1234

    1

    2

    3

    4

    5

    455,00

    327,50

    528,00

    266,00

    332,50

    65,00

    65,50

    66,00

    66,50

    66,50

    7,00

    5,00

    8,00

    4,00

    5,00

    итого1909,0029,00

    Для того чтобы определить средний курс рубля по отношению к доллару, нужно найти соотношение между суммой продажи рублей, которые затрачены на покупку долларов в ходе всех сделок, и суммой приобретенных в результате этих сделок долларов.

  • Вывод: средний курс за один доллар составил 65,83 руб.;
  • Если бы для расчета среднего курса была использована средняя арифметическая простая:то,  за один доллар, по данному курсу на покупку 29 млн дол. нужно было бы затратить 1899,5  млн.руб., что не соответствует действительности.

    Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин как отношение каждого уровня ряда к предыдущему уровню.

  • Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле 8.12
  • Если использовать частоты m, получим формулу средней геометрической взвешенной
  • Средняя геометрическая взвешенная рассчитывается по формуле 8.13

Средняя квадратическая применяется, когда изучается вариация признака. В качестве вариантов используются отклонения фактических значений признака либо от средней арифметической, либо от заданной нормы.

Для несгруппированных данных используют формулу средней квадратической простой

Средняя квадратическая простая (формула 8.14)

Для сгруппированных данных используют формулу средней квадратической взвешенной

Средняя квадратическая взвешенная (формула 8.15)

(8.15) – Формула -средняя квадратическая взвешенная

Средние арифметическая, гармоническая, геометрическая и квадратическая, рассчитанные для одного и того же ряда вариантов, отличаются друг от друга. Их численное значение возрастает с ростом показателя степени в формуле степенной средней правило мажорантности средних А.Я. Боярского, т.е.

Мода и Медиана (структурные средние) формулы и примеры вычисления см.  по ссылке

8.3. Средние величины в статистике Ссылка на основную публикацию

Источник: https://stat-ist.ru/statistika-kurs-lektsij/srednie-velichiny

Refpoeconom
Добавить комментарий