Одна из характеристик нашей кривой — ее постоянный наклон.

Круговые и переходные кривые

Одна из характеристик нашей кривой — ее постоянный наклон.
Круговые кривые. Железнодорожные линии (также и автомобильные дороги) в плане состоят из прямолинейных участков, сопряжённых между собой кривыми. Наиболее простой и распространённой формой кривой является дуга окружности. Такие кривые носят название круговых кривых.

На железных дорогах применяют круговые кривые со следующими радиусами: 4000, 3000, 2000, 1800, 1500, 1200, 1000, 800, 700, 600, 500, 400 и 300 м. Радиус кривой выбирают при проектировании дороги, руководствуясь конкретными техническими условиями.

Главными точками кривой, определяющими её положение на местности, являются вершина угла ВУ, начало кривой НК, середина кривой СК и конец кривой КК (рис. 15.3).

Рис. 15.3 Схема круговой кривой

Основные элементы кривой – её радиус R и угол поворота a. К основным элементам относятся также:

– тангенс кривой Т (или касательная) — отрезок прямой между вершиной угла и началом или концом кривой;

– кривая К — длина кривой от начала кривой до её конца;

– биссектриса кривой Б — отрезок от вершины угла до середины кривой;

– домер Д — разность между длиной двух тангенсов и кривой.

Во время изысканий угол a измеряют, а радиус R назначают. Остальные элементы вычисляют по формулам, вытекающим из прямоугольного треугольника с вершинами ВУ, НК, О (центр окружности):

Т = R×tg(a/2); К = R×a = p R a°¤180°; Б = R [sec(a/2) — 1], (15.1)

где a° — угол поворота в градусах.

Домер вычисляют по формуле

. (15.2)

Вместо вычислений по формулам можно воспользоваться таблицами для разбивки кривых на железных дорогах, где по заданным радиусу и углу поворота сразу находят значения Т, К, Б и Д.

В месте поворота трассы пикетаж ведётся по кривой. Пикетажное положение главных точек кривой определяют по формулам:

ПК НК = ПК ВУ — Т; ПК КК = ПК НК + К; ПК СК = ПК НК + К/2. (15.3)

Правильность вычислений контролируют по формулам:

ПК КК = ПК ВУ + Т — Д; ПК СК = ПК ВУ + Д/2. (15.4)

Пример.

Измерено a = 18°19¢ и задан радиус R = 600 м. Вершина угла расположена на пикете 6 + 36,00.

По формулам (15.1) и (15.2) или по таблицам находим элементы кривой: Т = 96,73 м; К = 191,81 м; Д = 1,65 м; Б = 7,75 м.

Вычислим пикетажное положение главных точек:

Контроль:

ПК ВУ 6 + 36,00 ПК ВУ 6 + 36,00

— Т 96,73 + Т 96,73

ПК НК 5 + 39,27 7 + 32,73

+ К 1 + 91,81 — Д 1,65

ПК КК 7 + 31,08 ПК КК 7 + 31,08

ПК НК 5 + 39,27 ПК ВУ 6 + 36,00

+ К/2 95,90 — Д/2 0,82

ПК СК 6 + 35,17 ПК СК 6 + 35,18

Переходные кривые.

Непосредственное сопряжение прямого участка пути с круговой кривой приводит к тому, что во время движения поезда в месте сопряжения внезапно возникает центробежная сила F, прямо пропорциональная квадрату скорости движения v и обратно пропорциональная радиусу кривой .

Чтобы обеспечить постепенное нарастание центробежной силы, между прямой и круговой кривой вставляют переходную кривую, радиус кривизны r которой плавно изменяется от ¥ до R. Если положить, чтобы центробежная сила менялась пропорционально расстоянию s от начала кривой, то получим

,

где s и r — текущие значения расстояния от начала переходной кривой и ее радиуса кривизны;

R – радиус кривизны в конце переходной кривой.

Индексом k отмечены значения переменных в конце переходной кривой.

Для радиуса кривизны переходной кривой в текущей точке i найдём:

r = lR/s, (15.5)

где через l обозначена длина переходной кривой sk. Кривая, описываемая уравнением (15.5), в математике называется клотоидой, или радиоидальной спиралью.

Угол поворота трассы на переходной кривой. На бесконечно малом отрезке кривой ds (рис. 15.4, а) происходит поворот трассы на угол

.

Подставляя выражение радиуса кривизны r из (15.5), получим

.

Выполним интегрирование от начала кривой НК, где j = 0 и s = 0, до текущей точки i:

,

откуда

Rlj = s2/2.

Рис. 15.4 Схема переходной кривой:

а – углы поворота трассы: φ – в текущей точке i, β – в конце

переходной кривой (точка КПК); б — приращения координат

Из полученного уравнения вытекают формулы:

; ; l = 2Rb, (15.6)

где b — угол поворота трассы в конце переходной кривой;

l — длина переходной кривой;

R — радиус кривизны в конце переходной кривой, равный радиусу следующей за нею круговой кривой.

Координаты точки переходной кривой. Совместим начало координат с началом переходной кривой и направим ось x по касательной к ней (см. рис. 15.4, а). Бесконечно малому приращению дуги кривой соответствуют бесконечно малые приращения координат (рис. 15.4, б):

dx = cosj×ds; dy = sinj×ds. (15.7)

Разложим синус и косинус в ряд и, удержав в разложениях по два члена, подставим в них выражения для j из (15.6):

cosj = 1-j2/2 = 1 — s4/(8R2l2);

sinj = j — j3/6 = s2/(2Rl) — s6/(48R3l3).

Подставляя полученные выражения в (15.7) и выполняя интегрирование, найдём:

; (15.8)

. (15.9)

Смещение начала кривой (сдвижка). На рис. 15.5 дуга НК-КПК представляет собой переходную кривую, переходящую после точки КПК в круговую. Продолжим круговую кривую до точки Q, где её направление, параллельно оси x.

Обозначим через m смещение, параллельное оси x, начала переходной кривой относительно точки Q, в которой начиналась бы круговая кривая при отсутствии переходной. Через p обозначим смещение в перпендикулярном направлении. Из рис.

15.5 видно:

,

где xКПК и yКПК — координаты конца переходной кривой, вычисляемые по формулам (15.8) и (15.9) с аргументом s = l .

Сочетание круговой кривой с переходными. На рис. 15.6 показана кривая, поворачивающая трассу на угол a и состоящая из круговой части с радиусом R и двух переходных кривых одинаковой длины l.

 

Рис. 15. 5 Смещение начала переходной кривойРис. 15.6 Сопряжение круговой кривойс переходными

Если бы не было переходных кривых, в образованный прямыми линиями трассы угол была бы вписана дуга окружности радиуса R, равная Q-СК-Q1 и имеющая длину K = Ra.

При наличии переходных кривых на каждой из них происходит поворот трассы на угол b, отчего на долю круговой кривой приходится поворот на угол a-2b. Поэтому суммарная длина кривой равна

Kc = R (a-2b) + 2l = Ra — 2Rb + 2l = K — l + 2l = K + l.

Тангенс и биссектриса определяются по формулам:

Тс = T + m + Tp; Бc = Б + Бp,

где Тp = ptg(a/2); Бp = psec(a/2).

Домер в этом случае равен

.

В полевых условиях значения m, Тp и Бp вычисляют на микрокалькуляторе или выбирают из таблиц для разбивки кривых на железных дорогах. Пикетажное положение главных точек кривой вычисляют по формулам, аналогичным (15.3) и (15.4).

Источник: https://injzashita.com/krugovie-i-perexodnie-krivie.html

1.1. Функция спроса и предложения. Наклон кривой

Одна из характеристик нашей кривой — ее постоянный наклон.

Спрос(D— demand)на какой-либо товар характеризуетколичество продукта, которое потребителижелают, готовы и в состоянии купить поодной из возможных в течение определенногопериода времени цене.

Функцияспросапредставляетзависимость объема спроса от влияющихна него факторов – независимыхэкономических переменных. Прежде всего,спрос зависит от цены (price)данного товара. На спрос оказываютвлияние неценовые факторы.

Среди них — цены на другие товары;(income)– доходы потребителей; – вкусы, потребительские предпочтения;(wait)– ожидания; (number)– количество покупателей; – прочие факторы.

Функцияспроса в неявном виде:,где(quantity)объемспроса на товар, показывает количествоэтого товара, которое желает купитьотдельный потребитель, группа потребителейили все общество в целом в единицувремени при определенных условиях.Функция спроса является функцией многихпеременных.

Криваяспросапоказывает,какое количество товара готовы купитьпокупатели по разным ценам в данныймомент времени.

Вэкономической теории принято, следуятрадиции А. Маршалла, откладыватьнезависимую переменную ()по вертикальной оси – оси ординат, азависимую ()– по горизонтальной оси – оси абсцисс.Математики поступают иначе: на осиординат откладывают значения зависимойпеременной, на оси абсцисс – независимойпеременной.

Точкана кривой спроса характеризует уровеньцены и объем покупок товара в определенныймомент времени. Она имеет отрицательныйнаклон, что свидетельствует о желаниипотребителей купить большее количествоблаг при меньшей цене.

Еслинеценовые факторы спроса не изменяются(постоянны), то объем спроса зависиттолько от цены товара, от одной переменной:

Награфике изменение цены вызывает изменение объема спроса и перемещениеиз одной точки кривой спроса (точки )в другую (точку)при снижении цены сдо,и в обратном направлении при повышениицены (рис 1а).

Приизменении неценовых факторов происходитизменение самого спроса, или изменениев самом спросе, которое сдвигает кривуюспроса вправо вверх при увеличении спроса или влево вниз при сокращенииспроса (рис. 1 б).

Примеромпростейших функций спроса в явном видеявляются линейная функция ,где- константы, имеющие экономический смысли различающиеся у каждого товара и вразличные периоды времени; степеннаяфункция спросабыла характерна для ряда товаровпотребительского спроса в 30-40 гг.XIXв. Здесь -коэффициент ценовой эластичностиспроса.

1.2. Наклон кривой спроса для нормальных товаров

Задананекоторая функция спроса и графически представлена на рис. 2.Исходная точкас координатами.Допустим, ценарастет, спрос уменьшается и новаяситуация представлена точкойс координатами.

Наклонкривой спроса на дуге определяется наклоном секущей линии,проведенной через точкиик оси,и измеряется отношением измененияобъема спроса к вызвавшему его изменениюцены:

.

Секущаяобразует уголс отрицательно направленной осью .Экономисты же измеряют наклон кривыхтангенсом угла, который образуют секущая(на дуге) или касательная (в точке) толькос положительно направленной осьюабсцисс. Поэтому наклон кривой спросаизмеряют тангенсом угла,т.е..Следовательно, кривая спроса длянормальных товаров имеет отрицательныйнаклон.

Еслизадана функция спроса, то наклон кривойв точке определяется первой производной.Так, если ,то точкапробежит по дуге в направлении к точкеи совпадет с ней. Секущая линия повернетсяи займет положение касательной к кривойспроса в точке.Тогда наклон кривой спроса в точке будетравен тангенсу угла, который образуеткасательная в этой точке с положительнонаправленной осью.

Если,то.Наклон кривой спроса в точке равен.

Еслифункция спроса линейна, то ее наклонизмеряется угловым коэффициентом (-).Наклон кривой спроса для нормальныхтоваров отрицательный. Это означает,что между объемом спроса на товар и егоценой существует обратная зависимость().

Предложение(S- supply)характеризуетколичество продукта, которое производительжелает и может произвести, продать нарынке по сложившейся на рынке цене втечение определенного периода времени.

Функцияпредложения характеризует зависимостьобъема предложения отвлияющих на него различных факторов.На предложение оказывают влияниеследующие факторы:– цена данного товара; неценовые факторы,к которым относятся– цены на другие товары;– цены на ресурсы;(tax)– налоги; (subsidy)– субсидии; – прочие факторы.

Функцияпредложения в неявном виде:,гдеобъем предложения товара.

Есливсе неценовые факторы предложения неизменяются, постоянны, то функцияпредложения внеявномвиде может быть представлена следующимобразом: .Каждая точка на кривой предложенияпредставляет, какое количество товараготовы продать производители по разнымценам в данный момент времени.

Аналогично,как и в случае кривой спроса, для кривойпредложения на графике изменение ценывыражается в изменении объема предложенияи движении вдоль кривой предложения изодной точки в другую: вверх по кривойпредложения в случае роста цены и внизв случае снижения цены. Изменениенеценовых факторов вызывает сдвигкривой предложения. Так, введение налогас продаж передвигает кривую предложениявлево и вверх.

Источник: https://studfile.net/preview/1810804/page:2/

Экономикс

Одна из характеристик нашей кривой — ее постоянный наклон.

Студенты, уделяющие учебе больше времени, получают высокие оценки, однако на успевае­мость влияют и другие факторы. Важное значение имеют знания, полученные в школе, способности, внимание со стороны преподавателя и завтрак. Однако на рис. 2н.2 действие всех этих факторов не учитывается. С другой стороны, экономистов нередко интересует именно зависимость между двумя переменными.

Один из самых важных графиков, рассматриваемых в экономической теории, — кри­вая спроса, отражающая влияние цены продукта на количество товара, которое потребители хотели бы приобрести. Табл. 2п.1 показывает, как количество романов, которые покупает Эмма Б., зависит от ее дохода и цены книг.

Дешевые издания Эмма покупает в огромных количествах. По мере того как книги становятся дороже, она проводит больше времени в библиотеке или предпочитает чтению поход в кинотеатр. При данной цене Эмма покупает больше романов в тех случаях, когда имеет более высокий доход.

То есть когда ее доход растет, она тратит часть дополнительного дохода на романы, а часть — на другие товары.

Таблица 2п.1. РОМАНЫ, ПРИОБРЕТЕННЫЕ ЭММОЙ Б. Таблица показывает количество приобретаемых Эммой книг в зависимости от уровня ее дохода и цен на романы. При любом данном уровне дохода цена и показатели спроса могут быть представлены на графике с помощью кривой спроса на романы.

Теперь у нас есть три переменные: цена романов, доход и количество купленных книг, а значит, мы не можем представить всю имеющуюся информацию в системе координат. Чтобы интерпретировать данные из табл. 2п.

1 в графической форме, нам необходимо принять одну из трех переменных за константу и показать зависимость между двумя оставшимися.

Так как кривая спроса отражает зависимость между ценой и спросом, мы примем доход Эммы за постоянную величину и покажем, как количество романов, кото­рые она покупает, зависит от цены романов.

Предположим, что доход Эммы составляет $ 30 тыс. в год. Если на оси X мы отметим количество романов, которые покупает Эмма, а на оси Y — цену приобретаемых книг, мы получим возможность графически представить средний столбец из табл. 2п.1.

Соединив полученные из таблицы точки — (5 романов, $ 10), (9 романов, $ 9) и т. д., — получаем линию, представленную на рис. 2п.З, — кривую спроса Эммы на романы, показывающую, сколько книг хотела бы купить Эмма по определенной цене.

Кривая направлена вниз и отражает обратную зависимость между количеством романов, на которые существует спрос, и ценой.

Рис. 2п.З КРИВАЯ СПРОСА. Линия D1 показывает зависимость числа приобретаемых Эммой книг от цены на романы, при условии, что ее доход считается постоянным. Между ценой и количеством книг существует обратная зависи­мость, кривая спроса идет по нисходящей.

Теперь предположим, что доход Эммы вырос до $ 40 тыс. в год. При данной цене Эмма купит больше романов, чем она приобретала при более низком доходе. Так же как мы чертили кривую спроса Эммы на романы, используя значения из среднего столбца табл. 2п.1, мы проведем новую линию, используя значения из правого столбца таблицы.

Новая кривая спроса (кривая D 2 ) расположена вдоль старой кривой (кривой D 1 ) на рис. 2п.4. Новая кривая похожа на линию слева. Таким образом, мы можем сказать, что рост доходов Эммы привел к сдвигу или смещению ее кривой спроса. Если бы доход Эммы снизился до $ 20 тыс.

в год, она покупала бы меньше романов при любой данной цене и кривая ее спроса сместилась бы влево (к кривой D 3 ).

Рис. 2п.4 СДВИГ КРИВЫХ СПРОСА. Положение кривой спроса Эммы на романы зависит от величины ее дохода. Чем больший доход она получает, тем больше романов она купит при любой данной цене и тем правее будет лежать кривая спроса.

Кривая D1 представляет первоначальный спрос Эммы, когда ее доход составлял $ 30 тыс. в год. Если ее доход возрастет до $ 40 тыс. в год, кривая спроса сместится до D2. Если ее доход упадет до $ 20 тыс.

в год, кривая спроса сместится до D3.

В экономической теории важно различать движение по кривой и сдвиг кривой. Из рис. 2п.З следует, что, если Эмма зарабатывает $ 30 тыс. в год и один роман стоит $ 8, за год она приобретет 13 романов. Если цена на книгу упадет до $ 7, количество приобретен­ных романов возрастет до 17, однако кривая спроса остается на том же месте.

Итак, Эмма покупает определенное количество книг по каждой из возможных цен; если цена на романы снижается, ее спрос перемещается по кривой спроса слева направо. Напротив, если цена романов остается неизменной и составляет $ 8, а ее доход возрастет до $ 40 тыс. в год, Эмма увеличивает количество покупок романов с 13 до 16 в год.

Так как Эмма покупает больше романов по каждой возможной цене, ее кривая спроса смещается впра­во, как показано на рис. 2п.4.

Когда переменная, которую мы принимали за константу, изменяется, это приводит к сдвигу кривой. Поскольку мы не отражали годовой доход девушки ни на оси X, ни на оси Y, при его изменении кривая спроса Эммы должна смещаться.

Любое изменение, отражающееся на покупательских привычках Эммы (кроме изменений в цене романов), приводит к сдвигу ее кривой спроса.

Если, например, закроется публичная библиотека, в которой девушка брала книги, ей придется покупать издание каждого романа, который ей захочется прочесть; она будет вынуждена покупать больше романов по каждой возмож­ной цене, и кривая спроса сдвинется вправо.

Или, если снизятся цены на билеты в кинотеатр и Эмма будет проводить больше времени в кино и меньше читать, ее спрос по каждой возможной цене уменьшится и кривая ее спроса сместится влево. Напротив, когда изме­няется переменная, отражающаяся на оси координат графика, кривая не сдвигается, а изменение отражается в движении вдоль кривой.

53.684169 23.861143

Источник: https://ec0n0m1cs.wordpress.com/page/2/

Кривые в системе координат

Одна из характеристик нашей кривой — ее постоянный наклон.

Студенты, уделяющие учебе больше времени, получают высокие оценки, однако на успевае­мость влияют и другие факторы. Важное значение имеют знания, полученные в школе, способности, внимание со стороны преподавателя и завтрак. Однако на рис. 2н.2 действие всех этих факторов не учитывается. С другой стороны, экономистов нередко интересует именно зависимость между двумя переменными.

Один из самых важных графиков, рассматриваемых в экономической теории, — кри­вая спроса, отражающая влияние цены продукта на количество товара, которое потребители хотели бы приобрести. Табл. 2п.1 показывает, как количество романов, которые покупает Эмма Б., зависит от ее дохода и цены книг.

Дешевые издания Эмма покупает в огромных количествах. По мере того как книги становятся дороже, она проводит больше времени в библиотеке или предпочитает чтению поход в кинотеатр. При данной цене Эмма покупает больше романов в тех случаях, когда имеет более высокий доход.

То есть когда ее доход растет, она тратит часть дополнительного дохода на романы, а часть — на другие товары.

Средняя оценка

Рис. 2п.2

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Средний балл отражается на верти­кальной оси, а время учебы — на горизон­тальной. Баллы Альберта Э., Альфре­да Э. и их коллег-студентов представ­лены различными точками. Из графика следует, что студенты, проводящие больше времени за учебой, получают более высокие оценки.

4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

Альберт Э.

(25, 3.5)

Альфред Э. (5,2-0)

10 15 20 25 30 35 40 Время учебы

(часов в неделю)

Теперь у нас есть три переменные: цена романов, доход и количество купленных книг, а значит, мы не можем представить всю имеющуюся информацию в системе координат. Чтобы интерпретировать данные из табл. 2п.

1 в графической форме, нам необходимо принять одну из трех переменных за константу и показать зависимость между двумя оставшимися.

Так как кривая спроса отражает зависимость между ценой и спросом, мы примем доход Эммы за постоянную величину и покажем, как количество романов, кото­рые она покупает, зависит от цены романов.

Предположим, что доход Эммы составляет $ 30 тыс. в год. Если на оси X мы отметим количество романов, которые покупает Эмма, а на оси Y — цену приобретаемых книг, мы получим возможность графически представить средний столбец из табл. 2п.1.

Соединив полученные из таблицы точки — (5 романов, $ 10), (9 романов, $ 9) и т. д., — получаем линию, представленную на рис. 2п.З, — кривую спроса Эммы на романы, показывающую, сколько книг хотела бы купить Эмма по определенной цене.

Кривая направлена вниз и отражает обратную зависимость между количеством романов, на которые существует спрос, и ценой.

Цена романов

$11 10

9 8 7 6

5 4

3 2 1 (5, $Ю)

(9, $9)

(13, $8)

(17, $7)

(21, $6)

(25, $5) Спрос, D,

Рис. 2п.З

КРИВАЯ СПРОСА Линия D, показыва­ет зависимость числа приобретае­мых Эммой книг от цены на романы, при условии, что ее доход считается постоянным. Между ценой и количеством книг существует обратная зависи­мость, кривая спроса идет по нисходящей.

10 15 20 25 30 Количество

купленных романов

Цена, в $ ДОХОД
$ 20 000 $ 30 000 $ 40 000
г
э
Кривая Кривая Кривая
спроса D3 спроса D, спроса D,

Таблица 2п.1

РОМАНЫ, ПРИОБРЕТЕННЫЕ ЭММОЙ Б. Таблица показывает количество приоб­ретаемых Эммой книг в зависимости от уровня ее дохода и цен на романы. При любом Данном уровне дохода цена и показатели спроса могут быть представ­лены на графике с помощью кривой спроса на романы.

.i к No «4

Теперь предположим, что доход Эммы вырос до $ 40 тыс. в год. При данной цене Эмма купит больше романов, чем она приобретала при более низком доходе. Так же как мы чертили кривую спроса Эммы на романы, используя значения из среднего столбца табл. 2п.1, мы проведем новую линию, используя значения из правого столбца таблицы.

Новая кривая спроса (кривая D2) расположена вдоль старой кривой (кривой Dt) на рис. 2п.4. Новая кривая похожа на линию слева. Таким образом, мы можем сказать, что рост доходов Эммы привел к сдвигу или смещению ее кривой спроса. Если бы доход Эммы снизился до $ 20 тыс.

в год, она покупала бы меньше романов при любой данной цене и кривая ее спроса сместилась бы влево (к кривой D3).

В экономической теории важно различать движение по кривой и сдвиг кривой. Из рис. 2п.З следует, что, если Эмма зарабатывает $ 30 тыс. в год и один роман стоит $ 8, за год она приобретет 13 романов. Если цена на книгу упадет до $ 7, количество приобретен­ных романов возрастет до 17, однако кривая спроса остается на том же месте.

Итак, Эмма покупает определенное количество книг по каждой из возможных цен; если цена на романы снижается, ее спрос перемещается по кривой спроса слева направо. Напротив, если цена романов остается неизменной и составляет $ 8, а ее доход возрастет до $ 40 тыс. в год, Эмма увеличивает количество покупок романов с 13 до 16 в год.

Так как Эмма покупает больше романов по каждой возможной цене, ее кривая спроса смещается впра­во, как показано на рис. 2п.4.

Когда переменная, которую мы принимали за константу, изменяется, это приводит к сдвигу кривой. Поскольку мы не отражали годовой доход девушки ни на оси X, ни на оси Y, при его изменении кривая спроса Эммы должна смещаться.

Любое изменение, отражающееся на покупательских привычках Эммы (кроме изменений в цене романов), приводит к сдвигу ее кривой спроса.

Если, например, закроется публичная библиотека, в которой девушка брала книги, ей придется покупать издание каждого романа, который ей захочется прочесть; она будет вынуждена покупать больше романов по каждой возмож­ной цене, и кривая спроса сдвинется вправо.

Или, если снизятся цены на билеты в кинотеатр и Эмма будет проводить больше времени в кино и меньше читать, ее спрос по каждой возможной цене уменьшится и кривая ее спроса сместится влево. Напротив, когда изме­няется переменная, отражающаяся на оси координат графика, кривая не сдвигается, а изменение отражается в движении вдоль кривой.

Рис. 2п.4

СДВИГ КРИВЫХ СПРОСА

Положение кривой спроса Эммы на романы зависит от величины ее дохода. Чем больший доход она получает, тем больше романов она купит при любой данной цене и тем правее будет лежать кривая спроса.

Кривая D, представляет первоначальный спрос Эммы, когда ее доход составлял $ 30 тыс. в год. Если ее доход возрастет до $ 40 тыс. в год, кривая спроса сместится до D2. Если ее доход упадет до $ 20 тыс.

в год, кривая спроса сместится до D3.

Цена романов

$11 10

9 8 7 6

5 4 3 2 1

о,- Vs*

(Доход = .„ 1 . (Доход = $20000) $°™Щ$-0000)

30 Количество купленных романов

Наклон и эластичность

Один из вопросов, который вы, возможно, захотите задать об Эмме Б., — вопрос о том, как воздействует цена книг на ее покупательские привычки. Взгляните на кривую спроса на рис. 2п.5.

Если кривая очень крутая, количество покупаемых Эммой товаров при увели­чении или уменьшении цены изменяется незначительно. Если перед нами пологая кривая, небольшое изменение цены приводит к тому, что число покупаемых девушкой книг значи­тельно увеличивается или уменьшается.

Ответить на вопрос о том, как одна переменная реагирует на изменения другой, позволяет нам использование понятия наклона.

Наклон линии — это отношение вертикального изменения координат точки к гори­зонтальному изменению координат по мере движения вдоль линии. В математических символах данное определение описывается следующим образом:

Ду

«Дх»'

где греческая буква Д (дельта) означает величину изменения переменной. Пологая линия вверх характеризуется наклоном, выраженным небольшим положительным числом, крутая — большим положительным числом, линия, направленная вниз, — отрицательным числом.

У горизонтальной линии наклон равен нулю, потому что в этом случае координаты пере­менной по оси Y не изменяются; наклон вертикальной линии равен бесконечности, потому что значение переменной по оси Y может быть любым вне зависимости от значения пере­менной по оси X.

Какой наклон имеет кривая спроса Эммы Б. на романы? Поскольку кривая направ­лена вниз, ее наклон отрицателен. Чтобы подсчитать количественное значение наклона, мы должны выбрать две точки на линии.

Если доход девушки составит $ 30 тыс., она купит 21 роман по цене $ 6 или 13 романов по цене $ 8.

Нас интересует разница между этими двумя точками, поэтому наши расчеты будут выглядеть следующим образом:

(У,-У,)_ (6-8) -2_ -1_ (х, — х2) (21 — 13) 8 4

Данные для наших расчетов наглядно представлены на рис. 2п.5. Попытайтесь само­стоятельно рассчитать наклон кривой спроса, используя две другие точки. Вы должны получить в точности такой же результат — 1 /4. Одна из характеристик нашей кривой — ее постоянный наклон. Это не относится к другим типам кривых, наклон которых может изменяться.

Цена романов

$11 10

30 Количество купленных романов

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Рис. 2п.5

РАСЧЕТ НАКЛОНА ЛИНИИ

Чтобы вычислить наклон кривой спроса, необходимо рассчитать изменение значений координат х и у при перемеще­нии из одной точки (21 роман по цене $ 6) в другую (13 романов по цене $ 8). Наклон линии — это отноше­ние изменения значения координаты у (-2) к изменению значения координаты х (+8), равное -1/4.

Наклон кривой спроса Эммы на книги говорит нам о том, как изменяется количество ее покупок с изменением цены.

Небольшой наклон (число, близкое к нулю) означает, что кривая спроса относительно полога; в этом случае количество дополнительно приобретае­мых в ответ на изменение цены товаров довольно значительно.

Большее значение наклона кривой (число, значительно большее или меньшее нуля) — атрибут крутой кривой спро­са; в этом случае количество дополнительно приобретенных товаров в ответ на изменение цены невелико.

Однако метод расчета наклона кривой как способ измерения реакции Эммы на изме­нение цены товаров не отличается совершенством. Проблема заключается в том, что наклон кривой зависит от единиц измерения переменных по осям х и у.

Если бы мы измеряли цену романов в центах, а не в долларах, наклон кривой спроса составил бы 200/8 или -25, а не -1/4 согласно нашим первоначальным вычислениям. Однако никто не ставит под сомнение верность расчетов.

Данное расхождение в результатах просто говорит нам об одной важной вещи, а именно: спрос Эммы на романы менее чувствителен к изменению цены в несколько центов, чем к изменению цены на такое же количество долларов. Если мы попытаемся сравнить наклон кривой спроса Эммы на романы с ценой книг, выраженной в долларах, с наклоном кривой спроса Дона К.

с ценой, выраженной в испанских песо, или с наклоном кривой спроса Дэвида К. с ценой, выраженной в фунтах стерлингов, последует конфуз. По этой причине экономисты часто измеряют чувствительность одной переменной к изменениям другой не наклоном кривой, а эластичностью, когда используется не коли­чественное изменение, а изменение переменной в процентах.

Снижение цены с $ 8 до $ 6 означает ее уменьшение на 25%, точно так же как и снижение цены с 800 центов до 600. Использование понятия эластичности позволяет нам не беспокоиться о единицах измере­ния переменных, поскольку изменение, выраженное в процентах, будет одинаковым во всех случаях. Более подробно мы рассмотрим вопрос об эластичности в главе 5.

Дата добавления: 2015-09-13; просмотров: 6; Нарушение авторских прав

|следующая лекция ==>
Графики одной переменной| Причина и следствие

Источник: https://lektsii.com/3-48044.html

2.3. Наклон кривой линии

Одна из характеристик нашей кривой — ее постоянный наклон.

Одесская библиотека бизнес литературы

полезные книги для бизнеса

Книга «Экономика от азов до профи»

Кривая линия — это линия с переменным наклоном. Иногда мы хотим знать наклон в определенной точке, например в точке В на рис. 5. Мы абсолютно ясно видим, что наклон в точке В положительный, но в отношении количественного измерения величины наклона ясность пока отсутствует.

 Начертив касательную, мы можем рассчитать наклон кривой в точке касания. На этом рисунке линия MJ является касательной к кривой ABDE в точке В. Наклон в точке В определяется как наклон касательной, т.е. как соотношение NJ/MN.

Для того чтобы определить наклон плавной кривой в какой-либо точке, мы должны определить наклон прямой линии, которая касается кривой в интересующей нас точке, но не пересекает ее. Такая прямая называется касательной к кривой. Другими словами, наклон кривой в данной точке равен наклону прямой, которая касается ее в этой точке.

Проведя касательную, мы можем измерить наклон кривой, просто измерив наклон линии касания по методике, описанной выше.Для того чтобы определить наклон кривой в точке В на рис. 5, мы должны просто провести прямую J, которая коснется кривой в точке В. Затем мы определяем наклон касательной как соотношение NJ/MN.

Таким же образом, с помощью касательной GH мы определяем наклон этой же кривой в точке D.Другой пример наклона кривой рассмотрен на рис. 6. Здесь показана типичная для мик­роэкономики полусферическая кривая с максимумом в точке С.

Мы можем использовать нашу методику определения наклона по касательным для того, чтобы убедиться в том, что наклон кривой всегда положителен в той области, где кривая поднимается, и отрицателен в той, где она опускается. На вершине, или на максимуме кривой, наклон равен 0. Нулевой наклон показывает, что небольшой сдвиг переменной по горизонтальной оси относительно максимума не повлияет на значение переменной Y3.

СМЕЩЕНИЕ И ДВИЖЕНИЕ ВДОЛЬ КРИВОЙ

В экономической теории большое значение имеет умение отличать смещение кривой от движения вдоль нее. Мы можем исследовать это различие с помощью графиков, изображенных на рис. 7. Внутренняя граница производственных возможностей полностью соответствует ГПВ, изображенной на рис. 2. Находясь в точке D, общество может произвести 30 единиц продуктов питания и 90 единиц станков.

Если общество решит, что ему необходимо больше продуктов питания при данной ГПВ, то ему придется передвинуться по кривой в точку Е. Это движение вдоль кривой отражает выбор общества: больше еды, меньше станков.Предположим, что внутренняя ГПВ отражает производственные возможности общества в 1990 году.

Если мы посмотрим на эту же страну в 2000 году, то увидим, что ГПВ переместилась с кривой 1990 года на кривую 2000 года, расположенную выше. (Это смещение могло произойти благодаря техническому прогрессу или увеличению количества вовлеченных в производство трудовых ресурсов или капитала.

) В будущем общество может переместиться в точку G, где и продуктов питания, и станков будет производиться больше по сравнению с точками D и Е.

3 Тем, кто хорошо знает алгебру, вероятно, интересно будет узнать, что наклон линии можно определить следующим образом: для прямой, описывающей линейную зависимость с помощью уравнения Y = а + bX, наклон кривой равен b, которая показывает, на сколько изменится значение переменной Y при единичном изменении переменной Х.

Нелинейная зависимость, имеющая вид кривой, — это зависимость, которая описывается уравнением, содержащим не только коэффициенты и одну переменную. Примером нелинейной зависимости может служить квадратное уравнение Y = (X — 2)2. Вы можете быстро убедиться в том, что наклон кривой, описываемый этим уравнением, отрицательный, если X < 2, и положительный, если X > 2.

А какой же наклон кривой, если X = 2? Многие кривые, используемые в экономике, сначала возрастают, а затем, достигнув максимума, убывают. В области возрастания (от А до С) наклон кривой положительный (см. точку В); в области снижения (от С до Е) — отрицательный (см. точку D); в точке максимума кривой (точка С) наклон равен 0.

(А что можно сказать об U-об-разной кривой? Чему равен ее наклон в точке минимума?)
 С помощью графиков можно разобраться в различиях между движением вдоль кривой (например, из точки с высоким уровнем инвестиций D в точку с более низким уровнем Е) и смещением кривой (например, из точки D, соответствующей более раннему периоду времени, в точку G, соответствующую более позднему периоду). С помощью этого примера мы проиллюстрировали различие между движением вдоль кривой в первом случае (перемещение из точки D в точку Е) и смещением самой кривой во втором случае (из точки D в точку G).

Понравился материал?

Убедительная просьба при использовании любых материалов Одесской электронной бизнес-библиотеки ставить активную ссылку на наш сайт. По всем вопросам касательно сайта пожалуйста пишите на почту

Источник: https://book.od.ua/i/naklon-krivoy-linii

Функция спроса и предложения. Наклон кривой

Одна из характеристик нашей кривой — ее постоянный наклон.

ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ РЫНКА

Конспекты лекций

В курсе микроэкономики анализируется взаимодействие субъектов хозяйственной деятельности – отдельных потребителей (домашних хозяйств) и производителей (предприятий).

Центральной темой курса является «Производство. Производственные функции», в которой детально исследуются протекающий в рамках фирмы процесс производства и его параметры – потребление ресурсов (издержки производства и их виды), доход и прибыль, условие минимизации издержек и максимизации прибыли и т.п. Поэтому микроэкономика является основой теории фирмы.

В микроэкономике используются модели, адекватно отражающих взаимозависимости между экономическими параметрами деятельности фирмы. Только такие модели позволяют субъектам хозяйственной деятельности обосновать оптимальные решения и руководствоваться ими в принятии решений.

СОДЕРЖАНИЕ

Раздел. Основные параметры рынка 5

1.1 Функции спроса и предложения. Наклон кривой. 5

1.2 Наклон кривой спроса для нормальных товаров. 6

1.3. Наклон кривой предложения для нормальных товаров 8

1.4. Эластичность спроса и предложения 9

2. Простые динамические модели рынка одного товара 12

2.1 Паутинообразная модель рынка одного товара 13

2.2. Устойчивость равновесия. Сдвиг равновесия. 18

Раздел. Производственная функция как модель процесса производства

3.1. Производственная функция и ее свойства 21

3.2. Производство с одним переменным фактором 24

3.3. Замещаемость производственных факторов 26

3.4. Капиталоемкость технологии 28

3.5. Эластичность замены одного фактора другим 29

3.6. Два крайних и общий случаи замещения факторов

производства 30

3.7. Изокоста (прямая равных издержек). Правило минимизации

издержек 33

3.8. Производство с двумя переменными факторами 34

Раздел. Экономические издержки пpоизводства и доход

фирмы 38

4.1. Издержки производства в краткосрочном периоде 38

4.2. Издержки производства в долгосрочном периоде 42

4.3. Доход фирмы: валовой, средний и предельный. Экономи

ческая прибыль 44

Раздел. Деятельность фирмы на товарных рынках 48

5.1. Равновесие фирмы в условиях совершенной

конкуренции 48

5.2. Рынок чистой монополии Основные признаки

монополии 50

5.3. Спрос, цена и предельный доход монополиста 51 5.4. О кривой предложения монополиста 53

5.5. Необходимое и достаточное условия максимизации прибыли

монополистом 55

5.6. Показатель монопольной власти 57

5.7. Ущерб, приносимый монополией 57

5.8. Ценовая дискриминация 60

5.9. Регулирование деятельности монополий с помощью

налогов 62

Спрос (D — demand) на какой-либо товар характеризует количество продукта, которое потребители желают, готовы и в состоянии купить по одной из возможных в течение определенного периода времени цене.

Функция спросапредставляет зависимость объема спроса от влияющих на него факторов – независимых экономических переменных. Прежде всего, спрос зависит от цены (price) данного товара. На спрос оказывают влияние неценовые факторы.

Среди них — цены на другие товары; (income) – доходы потребителей; – вкусы, потребительские предпочтения; (wait) – ожидания; (number) – количество покупателей; – прочие факторы.

Функция спроса в неявном виде: , где (quantity) объем спроса на товар, показывает количество этого товара, которое желает купить отдельный потребитель, группа потребителей или все общество в целом в единицу времени при определенных условиях. Функция спроса является функцией многих переменных.

Кривая спросапоказывает, какое количество товара готовы купить покупатели по разным ценам в данный момент времени.

В экономической теории принято, следуя традиции А. Маршалла, откладывать независимую переменную ( ) по вертикальной оси – оси ординат, а зависимую ( ) – по горизонтальной оси – оси абсцисс. Математики поступают иначе: на оси ординат откладывают значения зависимой переменной, на оси абсцисс – независимой переменной.

Точка на кривой спроса характеризует уровень цены и объем покупок товара в определенный момент времени. Она имеет отрицательный наклон, что свидетельствует о желании потребителей купить большее количество благ при меньшей цене.

Если неценовые факторы спроса не изменяются (постоянны), то объем спроса зависит только от цены товара, от одной переменной:

На графике изменение цены вызывает изменение объема спроса и перемещение из одной точки кривой спроса (точки ) в другую (точку ) при снижении цены с до , и в обратном направлении при повышении цены (рис 1 а).

При изменении неценовых факторов происходит изменение самого спроса, или изменение в самом спросе, которое сдвигает кривую спроса вправо вверх при увеличении спроса или влево вниз при сокращении спроса (рис. 1 б).

Примером простейших функций спроса в явном виде являются линейная функция , где — константы, имеющие экономический смысл и различающиеся у каждого товара и в различные периоды времени; степенная функция спроса была характерна для ряда товаров потребительского спроса в 30-40 гг. XIX в. Здесь — коэффициент ценовой эластичности спроса.

Источник: https://studopedia.su/12_24248_funktsiya-sprosa-i-predlozheniya-naklon-krivoy.html

Refpoeconom
Добавить комментарий