Аннуитет (финансовая рента)

Финансовые ренты (аннуитеты) и их практическое использование

Аннуитет (финансовая рента)

Финансовой рентой или аннуитетом называется ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени.

Финансовые ренты (аннуитеты) характеризуются такими параметрами:

1) член ренты — величина каждого отдельного платежа;

2) период ренты — временной интервал между двумя платежами;

3) срок ренты — время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа;

4) процентная ставка — ставка, используемая для расчета наращения платежей, составляющих ренту.

Кроме того, рента характеризуется: количеством платежей в год, частотой начисления процентов, моментом производства платежа (в начале, середине или в конце года) и т.д. [66, с. 91].

Обобщающими показателями ренты (аннуитета) являются будущая (наращенная) и текущая или настоящая (приведенная) ее величина.

Будущая стоимость аннуитета — это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты [66, с. 91].

Для определения будущей стоимости обычного аннуитета можно использовать формулу:

, (4.49)

где F — будущая стоимость обычного аннуитета;

C — величина ежегодного взноса (платежа);

t — срок аннуитета;

n — процентная ставка;

— коэффициент наращения аннуитета.

В практике финансовых расчетов с использованием аннуитетов могут быть различные варианты рентных платежей и начисления процентов. Рассмотрим 4 возможных вариантов аннуитетов.

1. Рентные платежи вносятся раз в год, а проценты на них начисляются несколько раз в году, например, (m) раз в году. В этом случае будущая стоимость аннуитета определяется по формуле:

. (4.50)

2. Рентные платежи вносятся несколько раз в течение года равными суммами, а начисление процентов производится один раз в конце года. При таких условиях будущая стоимость аннуитета может быть определена:

, (4.51)

где р — число рентных платежей в течение года.

3. Рентные платежи вносятся (р) раз в году, начисление процентов производится (m) раз в году, число периодов начисления процентов в течение года равно числу рентных платежей в течение года, т.е. m = p. В этом случае будущая стоимость аннуитета определяется по формуле:

, (4.52)

где n — номинальная ставка процентов;

t — срок ренты в годах;

m — число периодов начисления процентов в течение года.

4. Рентные платежи вносятся (р) раз в году, начисление процентов производится (m) раз в году, число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p ¹ m. Будущая стоимость аннуитета может быть определена из формулы:

, (4.53)

где р — число рентных платежей в течение года;

m — число периодов начисления процентов в течение года;

n — номинальная процентная ставка;

t — срок ренты.

Пример 4.24. Рентные платежи выплачиваются в течение 5 лет в размере 10 тыс. грн. Процентная ставка 12% годовых. Определить будущую стоимость аннуитета при следующих условиях:

а) платежи вносятся один раз в год, а проценты начисляются поквартально;

б) платежи вносятся 2 раза в год равными суммами, а проценты начисляются один раз в год;

в) рентные платежи вносятся поквартально, проценты начисляются поквартально;

г) рентные платежи вносятся ежеквартально, а проценты начисляются по полугодиям.

Решение: Используем формулы (4.50), (4.51), (4.52), (4.53)

а) тыс. гр.

б) тыс. гр.

в) тыс. гр.

г) тыс. гр.

При осуществлении финансовых вычислений иногда возникает необходимость определения размеров разовых платежей и срока аннуитета.

Величина рентного платежа может быть определена по формуле:

. (4.54)

Срок аннуитета определяется по формуле:

. (4.55)

Настоящая величина потока рентных платежей — это сумма всех его членов, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на определенный момент времени, совпадающий с началом потока платежей, или предшествующий ему.

Настоящая величина показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые бы начислялись установленные проценты в течение срока ренты, можно было обеспечить получение наращенной суммы.

Оценка настоящей величины производится на момент начала реализации ренты.

Для ренты с членами, равными (С), настоящая величина определяется по формуле:

, (4.56)

где А — настоящая величина потока рентных платежей;

С — сумма рентного платежа;

а — коэффициент приведения ренты, показывающий, сколько рентных платежей (С) содержится в настоящей величине.

Коэффициент приведения ренты (а) определяется по формуле:

. (4.57)

Пример 4.25. Семья желает в течение 3 лет собрать сумму для приобретения автомобиля стоимостью 95 тыс. гр. Она может выделить на эти цели 28 тыс. гр. ежегодно, помещая их в банк под 12,5% годовых (проценты сложные). Какая сумма потребовалось бы семье для приобретения автомобиля стоимостью 95 тыс. гр., если бы он ее поместил бы в банк на 3 года под 12,5% годовых?

Решение: С = 28 тыс. гр.; t = 3; n = 12,5%.

тыс. гр.

Наращенная сумма при ежегодных платежах в размере 28 тыс. гр. под 12,5% годовых составит:

тыс. гр.

Из этого примера можно вывести математическую взаимосвязь величин:

. (4.58)

или

. (4.59)

При начислении процентов (m) раз в году настоящая величина аннуитета вычисляется по формуле:

. (4.60)

При внесении рентных платежей несколько раз в году и начислении процентов 1 раз в году настоящая величина аннуитета может быть определена по формуле:

, (4.61)

где р — число рентных платежей.

При условии, что число рентных платежей не равняется числу начисления процентов (p ≠ m) используется формула:

. (4.62)

При расчете настоящей величины аннуитета достаточно часто возникает необходимость определения срока ренты. Срок ренты при расчете настоящей приведенной величины аннуитета определяется по формуле:

. (4.63)

Размер годового платежа может быть определен по формуле:

. (4.64)

Вопросы для самоконтроля:

1. В чем состоят объективные причины учета фактора времени в финансовых расчетах?

2. В чем состоят субъективные причины учета фактора времени в финансовых расчетах?

3. Назовите основные факторы, влияющие на изменение стоимости денег во времени.

4. Охарактеризуйте основные факторы, влияющие на стоимость денег во времени.

5. Что такое наращение и дисконтирование?

6. Что такое проценты?

7. Дайте понятие процентной ставки.

8. Назовите виды процентных ставок.

9. Какие способы начисления процентов Вы можете назвать?

10. Какие схемы начисления процентных ставок Вы знаете?

11. Что такое капитализация процентов?

12. Что такое будущая стоимость денег?

13. Как можно определить будущую стоимость денег при простых и сложных процентах?

14. Как можно определить будущую стоимость денег по схеме простых процентов?

15. Как можно определить будущую стоимость денег по схеме сложных процентов?

16. Для каких целей используется оценка будущей стоимости денег?

17. Как определить эффективную годовую процентную ставку?

18. Для каких целей применяется эффективная годовая процентная ставка?

19. Как определяется будущая стоимость денег при внутригодовых начислениях сложных процентов?

20. Как в финансовых расчетах будущей стоимости учитывается инфляция?

21. Как определить простую и сложную процентную ставку с учетом инфляции?

22. Что такое настоящая стоимость денег?

23. Как определяется настоящая стоимость денег по простым и сложным процентным дисконтным ставкам?

24. Что такое дисконтная процентная ставка?

25. Что такое дисконт?

26. Какие методы определения настоящей стоимости денег Вам известны?

27. Как определяется настоящая стоимость денег по простой дисконтной ставке?

28. Как определяется настоящая стоимость денег по сложной дисконтной ставке?

29. Для каких целей применяется оценка денег по настоящей стоимости?

30. Что такое финансовая рента?

31. Характеристика финансовой ренты.

32. Основные виды расчетов финансовой ренты при оценке ее будущей стоимости.

33. Основные виды расчетов финансовой ренты при оценке ее настоящей стоимости.

34. Как определить размер рентного платежа при обыкновенном аннуитете?

35. Срок аннуитета при расчете настоящей стоимости ренты.

раздел 5

УПРАВЛЕНИЕ ПРИБЫЛЬЮ

Ä Экономическая сущность и значение прибыли в социально-экономической системе государства.

Ä Необходимость управления прибылью в условиях рыночной экономики.

Ä Управление формированием прибыли в процессе хозяйственной деятельности предприятия.

Ä Максимизация прибыли. Операционный леверидж.

Ä Управление распределением и использованием прибыли.

Источник: https://megaobuchalka.ru/4/23518.html

3.2. Финансовая рента (аннуитет)

Аннуитет (финансовая рента)

Важнымчастным случаем потока платежей являетсяфинансовая рентаили просторента(rent), называемаяиногда такжеаннуитетом (annuity).

Подфинансовой рентойпонимается потокплатежей, у которого все выплаты одногознака и производятся через равныепромежутки времени.

Примером рентявляются: квартирная плата, погашениекредита, пенсии, регулярные выплатыпроцентов, ипотека, страховые выплатыи т. д. Первоначально рассматривалисьлишь ежегодные выплаты (anno-год)отсюда название аннуитет (annuity).

Интервалвремени между выплатами называетсяпериодом ренты(rentperiod,paymentperiod); размер отдельногоплатежа –членом ренты(rent).Сроком ренты(temp)называется время от начала первогопериода ренты до конца последнегопериода.

Есливыплаты производятся в конце периода,то рента называется рента постнумерандоилиобыкновеннаярента (аннуитетпостнумерандо или обыкновенный аннуитет,ordinaryannuity).

Есливыплаты производятся в начале периода,то рента называется рента пренумерандоилиавансированная рента(аннуитетпренумерандо или авансированныйаннуитет, annuitydue). Иногдавыплаты ренты производятся в серединепериода, например пенсии.

Длябезусловной ренты (annuitycertain)заранееоговариваются моменты всех выплат –от первой до последней выплаты.

Дляусловной ренты (contingentannuity)даты первойи последней выплаты зависят от какого-либослучайного события. Примером такойренты являются страховые выплаты илипенсии (lifeannuity).

Для описания и оценки условных рентсоздана бурно развивающаяся в настоящеевремя страховая (актуарная)математика.

Существуюти бессрочные (вечные)ренты. Примертакой ренты это облигации Британскогоказначейства (Х1Х век), выплаты по нимпроизводятся два раза в год по 2,5 %годовых.

Простаярентаозначает выплаты одной суммы,сложная рентапредполагает выплатыпеременных сумм.

Проведемрасчет простой ренты постнумерандо(см. рис. 3.4).

Рис.3.4.

Есличлен ренты – с, а процентная ставка –r, то современная стоимостьренты будет равна:

(3.4)

Суммируягеометрическую прогрессию, по формулеполучим:

Окончательно . (3.5)

или .

Наращеннаясумма S(n)согласно (3.2) будет равна:

. (3.6)

Расчетпростой ренты пренумеранто сводится кследующему потоку платежей (см. рис.3.5).

Рис.3.5.

Современнаястоимость ренты равна:

.

Суммируягеометрическую прогрессию аналогичнопредыдущему, получим:

Илиокончательно

. (3.7)

Длянаращенной суммы получим:

. (3.8)

Сравнивая(3.7) и (3.8) с (3.5) и (3.6), убеждаемся, что рентапренумерандо дороже ренты постнумерандо.Точнее справедлива формула:

Sпренумерандо=(1+r)Sпостнумерандо.

Длявеличины

, (3.9)

называемойкоэффициентом наращивания, существуютспециальные таблицы. Однако в настоящеевремя его вычисление не составляеттруда. Используя коэффициент наращивания,формулы (3.5) и (3.8) запишутся:

постнумерандопренумерандо
S(0)
S(n)

Непрерывная рента

Есливыплаты ренты производятся достаточночасто и длительный промежуток времени,удобно от дискретной ренты перейти кнепрерывной ренте. Рассмотримсоответствующий непрерывный потокплатежей. Произведем расчет современногозначения PV=S(0)и будущего значенияFV=S(tk)для данного потока платежей.

ПустьC(t)dt– значение платежа в момент времениtза промежуток времениdt,срок ренты равенtk,начало ренты в момент 0 конец вмоментtk.В общем случае предполагается возможностьвыплаты переменных суммC(t).

S(0)=PVC(t)dt S()=FV

0 t

Рис3.6.

Дляоценки непрерывного потока платежейрассчитаем современное значение илиприведенную к начальному моментуденежную сумму S(0) =PV.Предположим, что процентная ставкаравна r.

Тогда, платежC(t)dtв пересчете наначальный момент должен дисконтироваться,то есть умножаться на число меньшеединицы равноеert(см. формулу (2.

12) для непрерывных процентов)и дисконтированный платеж будет равенe-rtC(t)dt.При этом приращение современногозначенияS(0) будет равно:

(3.10)

Послеинтегрирования дифференциальногоуравнения по всему сроку рентыотначала ренты в момент 0 до конца рентыв моментtkполучим дляоценкисовременногозначения непрерывной ренты следующийинтеграл:

(3.11)

Формулаприменима для оценки сложной ренты,когда предполагаются выплаты переменныхсуммC(t).

Простаянепрерывная рента:Если рентапредполагает выплату постоянно однойи той же суммы С, то рента называетсяпростой. Произведем расчет современногозначенияPV=S(0)и будущего значенияFV=S(tk)для данного потока платежей. В этомслучае имеемC(t)=Cи соответствующийинтеграл может быть легко вычислен:

Окончательнодля современного значения получаем:

(3.12)

Учитывая,что длительность сделки равна tk, а процентная ставка равнаr,будущее значениеS(tk)по формуле непрерывных процентов (2.12)будет равно:

Отсюдаокончательно получим для простойнепрерывной ренты будущее значение:

(3.13)

Иногдамомент окончания сделки удобно принятьза tk=nтогда выведенные вышеформулы будут иметь чуть более компактныйвид. Для непрерывной ренты имеемсовременное значение:

. (3.14)

Формуладля бессрочной (вечной ренты) получаетсяиз (3.5) или (3.14) предельным переходом прии имеет вид:

(3.15)

Длянепрерывной ренты наращенная суммабудет равна:

. (3.16)

Рассмотримпримеры использования полученныхформул.

Пример 32.

Кредит5 млн руб. погашается 12 равными ежемесячнымивзносами. Найти сумму выплат при ставке12 % годовых.

Решение.

Воспользуемсяформулой (3.4):

,

гдеS(0)=5 млн руб.; число периодовначисленияn=12,r=1%=0,01– годовая ставка, пересчитанная на 1месяц, т. е..

Тогда,согласно (3.5) имеем:

,

отсюда:

(3.17)

Подставляячисла, получим:

млн руб.

Пример33.

Дляприобретения недвижимости стоимостью60 тыс. $ берется кредит под 6 % годовых.Согласно контракту погашение кредитапроисходит каждый месяц в течение 30лет. Какова сумма месячного платежа?

Решение.

Длительностьренты в месяцах равна 360. Воспользуемсяформулой (3.4) для установления связимежду неизвестным членом ренты с,современной стоимостью ренты S(0)=60тыс. $ и месячной процентной ставкой.

,тогда, суммируя, получим из (3.5):

.

Отсюда,сумма месячного платежа равна:

тыс. $ = 359,73 $.

Есливоспользоваться формулами для непрерывнойренты (3.10), получим:

тыс. $=359,41 $.

Очевидно,что суммы ежемесячного платежа,рассчитанные по непрерывным и дискретнымформулам, близки.

Пример34.

Кредитпогашается в течение года ежемесячнымиплатежами в размере 2 тыс. руб., годоваяпроцентная ставка составляет 12 %.Необходимо найти величину кредита.

Решение

Воспользуемсясначала формулой (3.5) вычислениясовременного значения обыкновеннойдискретной ренты:

Внашей задаче член ренты равен c= 2 тыс. руб., срок рентыn= 12 месяцев, месячная процентная ставкаравнаr= 12 %/12 = 1 % (1/мес.), анеизвестной является величина кредитаS(0). Тогда:

тыс.руб.

Внепрерывном случае для решениявоспользуемся формулой:

,

Получаем:

=22,616 тыс. руб.

Суммакредита составляет 22616 руб. ‑ она чутьбольше суммы 22510 руб., рассчитанной подискретной формуле.

Пример35.

Планируетсяпокупка автомобиля FORDF650 стоимостью $250 тыс.через 5 лет. Необходимо найти сумму,которую будем откладывать ежемесячнов течение указанного срока под годовуюпроцентную ставку 6 % для осуществлениязапланированной покупки.

Решение

Воспользуемсясначала формулой (3.6) вычисления будущегозначения обыкновенной дискретной ренты:

Внашей задаче член ренты cнеизвестен, а известны: срок рентыn=5*12=60 месяцев, месячнаяпроцентная ставка равнаr=6%/12=0,5%=0,005(1/мес.), и будущее значениеS(n)=$250тыс.

Тогда,

тыс.

В непрерывномслучае для решения воспользуемсяформулой (3.15):

Откуда

тыс.

Ежемесячнонеобходимо откладывать суммы в размере$ 3572,87 ‑ при расчете по непрерывнымпроцентам или $ 3583,2 ‑ при расчете подискретным процентам.

Пример36

Вмомент рождения ребенка родителиначинают откладывать ежемесячно $C наего обучение в университете. Плата завесь срок обучения составляет $100 тыс.и вносится в момент поступления ребенкав университет. Ребенок поступает вуниверситет в возрасте 17 лет. Банковскаяставка составляет 6 % в год. Найти величину$C.

Решение

Задачарешается аналогично предыдущему примеру35. Известны: срок ренты: n=17*12=204месяцев, месячная процентная ставкаравнаr=6%/12=0,5%=0,005 (1/мес.),и будущее значениеS(n)=$100тыс. Нужно найти месячный платеж (членренты)с:

Дискретныйрасчет

тыс.=$283,1.

Непрерывныйслучай

тыс.=$281,98

Наобучение ребенка в университете нужнооткладывать ежемесячно $283,1 при дискретномрасчете или =$281,98 при непрерывном расчете.

Пример37

Вконце каждого месяца на сберегательныйсчет инвестируется 2 тыс. руб. Напоступающие платежи ежемесячноначисляются сложные проценты по годовойставке 12 %. Какова величина вклада через2 года? Какую сумму нужно разместитьинвестору на депозитный счет дляполучения такой же величины вкладачерез 2 года в предположение, что процентыначисляются по той схеме – ежемесячно?

Решение

Из условия примерачлен ренты C=2 тыс. руб.,длительность рентыn=24(мес.), месячная процентная ставкаr=12%/12=1%=0,01 (1/мес.).

Сначала, дляопределения величина вклада через 2года воспользуемся формулой (3.6) вычислениябудущего значения обыкновенной дискретнойренты

тыс.руб.

Затем,для определения суммы, которую нужноразместить инвестору на депозитныйсчет, воспользуемся формулой (3.5)вычисления современного значенияобыкновенной дискретной ренты:

тыс.руб.

Такимобразом, размещение суммы 42,48677 тыс. руб.на депозитный счет для начисленияежемесячно сложных процентов по годовойставке 12 % позволит инвестору получитьту же сумму вклада 53,9493 тыс. руб.

Пример38

БанкNдает кредит под 24 %годовых. Один из вариантов кредитногодоговора имеет следующий вид:

«Кредитна 50 тыс. руб. погашается ежемесячнымиплатежами в размере 2 тыс. руб. Половинасуммы идет на обслуживание кредита,другая половина – на погашение кредита.Банк Nдополнительносообщает клиенту о моменте погашениякредита».

Такимобразом, ежемесячно в счет погашениязаемщик платит 1 тыс. руб.

Сколькодолжно быть выплат, чтобы погаситькредит? Каков срок погашения кредита,если процентная ставка будет сниженадо 12 % или повышена до 28 % годовых?

Решение

Внашей задаче член ренты равен c= 1 тыс. руб., месячная процентная ставкаравнаr= 24%/12 = 2 % = 0,02(1/мес.), величина кредитаS(0)=50тыс. руб., а неизвестным является срокрентыn.

Воспользуемсяформулой (3.14) вычисления современногозначения непрерывной ренты:

Отсюданайдем количество выплат n

или

Окончательно

(3.18).

Внашем случае имеем S(0) =50 тыс.руб.;C= 1 тыс. руб.;r=0,02. Подставив исходныеданные в полученную формулу, вычислимколичество выплатn

Так как, прии, следовательно,n→+∞.

Такимобразом, срок погашения кредита равен+∞, то есть клиент, заключивший договорс банком N, будет долженему вечно.

Возможно,в рассуждениях и расчетах имеетсяошибка, рассмотрим задачу с другойстороны. Если сумма выплат С постоянна,а количество выплатnстремится к бесконечности, то длясовременного значенияPV=S(0)такого потока платежей получим формулу(3.15):

Врассматриваемом случае, если клиентбанка будет платить по тысяче рублейежемесячно под r=2 % в месяцвечно, то он погасит кредит. Действительно

= 50 тыс. руб.

Пусть теперьпроцентная ставка снижена до 12 %.Рассчитаем количество выплат nпри этом значения процентной ставкиr=12 %/12=1 %=0,01

Таким образом, дляпогашения кредита в 50 тыс. руб. на условияхпредложенных банком Nпринебольшом проценте 12 % годовых потребуется70 выплат по 2 тыс. руб. т. е. 140 тыс. руб. втечение 70/12=5,8333 лет.

Еслипроцентная ставка будет повышена до 28% , то современное значение PV=S(0)приr=28 %/12=2,333% иC=1тыс. руб. для бесконечного потока платежейравно:

=42,86 тыс. руб.

Полученнаявеличина меньше суммы кредита в 50 тыс.руб., то есть, при годовой ставке в 28 %,даже выплачивая вечно, не удастсяпогасить сумму кредита. Потомкинеосторожного клиента банка Nбудут перед ним в вечном долгу.

Дляполноты приведем решение данного примерас использованием формулы дискретнойренты:

Отсюдачисло периодов начисления равно:

(3.19)

Формулы(3.18) и (3.19) отличаются только знаменателем,но при малых значениях процентной ставкиrсогласно замечательному пределуln(1+r)примерно равенrи знаменатели практически совпадаюти, следовательно, все полученные вышерезультаты остаются в силе.

Пример39.

Ссудав 10 млн руб. выдана под 12 % годовых (т. е.1 % месячных) и требует ежемесячной оплатыпо 130 тыс. руб. и выплаты остатка долгак концу срока в 10 лет. Каков остатокдолга D?

Решение.

Взадаче месячная ставка равна r=1% (1/мес.), число выплатn=10*12=120(мес.), ежемесячные выплатыc=130тыс. руб.=0,13 млн руб., ссуда равнаS(0)=10млн руб. Неизвестным является остатокдолгаD.

Потокплатежей для данной задачи имеет вид:

Рис.3.7.

Следовательно,приведенный доход S(0)=PVравен:

Отсюда,остаток долга:

Подставляячисленные значения, получим:

млнруб.

Следовательно,долг равен D=3,098839 млн руб.

Задача12

Владелецоливковой рощи сдал её в «вечную» аренду.Арендатор, начиная с 2010 года, переводит1 января каждого года на банковский счетвладельца оливковой рощи арендныйплатеж в размере $40 тыс. Банк ежегодноначисляет на вклад сложные проценты,исходя из годовой процентной ставки 5%. Какова выкупная цена оливковой рощина 1 января 2010 года? Найти выкупную ценуоливковой рощи на 1 января 2015 года.

Ответыи указания:

Выкупнаяцена оливковой рощи на 1 января 2010 годаопределяется по формуле вечной рентыпренумерандо:

тыс.

Выкупнаяцена оливковой рощи на 1 января 2015 годаравна:

$1072,077тыс.

Источник: https://studfile.net/preview/5898991/page:12/

9.3. АННУИТЕТ, ИЛИ ФИНАНСОВАЯ РЕНТА: В большинстве коммерческих операций вместо разовых платежей

Аннуитет (финансовая рента)
В большинстве коммерческих операций вместо разовых платежей встреча­ется последовательность денежных поступлений или выплат. Серия потоков поступлений или выплат называется потоком платежей.

Поток однонаправ­ленных платежей с равными интервалами времени между последовательны­ми платежами в течение определенного количества лет представляет собой аннуитет (финансовая рента).

Денежные поступления при оценке долговых и долевых ценных бумаг, возможных арендных платежей можно представить следующим образом:

СР1 = СР2 = … = СРи = СР. (9.13)

Аннуитеты могут подразделяться по количеству выплат в году, т. е. годо­вые выплаты (1 раз в год) и срочные (ряд выплат в пределах года), а также по количеству начислений процентов в течение года (ежегодно несколько раз в год или непрерывно).

По времени наступления платежей различают два типа аннуитета:

1. Обыкновенный (постнумерандо) аннуитет — когда платежи происходят в конце каждого периода.

2. Авансовый (пренумерандо) аннуитет — когда платежи происходят в на­чале каждого периода.

По продолжительности денежного потока различают:

3. Срочный аннуитет — денежный поток с равными поступлениями в те­чение ограниченного промежутка времени.

Примером срочного аннуитета постнумерандо являются арендные платежи, за пользование имуществом, землей и т. п., которые регулярно поступают по истечении очередного периода.

В качестве примера срочного аннуитета пренумерандо можно представить схему периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью наполнения определен­ной суммы, необходимой для решения конкретной задачи.

1. Бессрочный аннуитет — когда денежные поступления продолжаются достаточно длительное время.

Будущая стоимость обыкновенного аннуитета рассчитывается по следую­щей формуле:

или ГУ = СГ х Г2, (9.14)

где СГ — денежные поступления аннуитета; Г

2 — коэффициент наращения будущей стоимости аннуитета. Для денежного потока из п периода будущая стоимость авансового ан­нуитета равна:

(1 + г )п -1

Для определения суммы, которую необходимо депонировать в конце каж­дого периода для того, чтобы через заданное число периодов остаток составил необходимую величину, используется функция, называемая фактор фонда возмещения:

Г = ± =

Г2 (1 + г)п -1

Данный фактор учитывает процент, получаемый по депозитам. Сумма ежегодного вклада составит:

FV = А х F6, (9Л7)

где А — стоимость поступлений по истечении срока вложений. Формула (9.17) применяется для определения суммы, которую следует ежегодно вкладывать на депозитный счет в банк, чтобы через определенное количество лет получить заданную стоимость.

Часто в тех случаях, когда вплоть до истечения срока кредитного договора (долгового обязательства) кредитору выплачивается только процент, заем­щики для погашения основной суммы кредита создают специальные фонды возмещения. В каждый период должник вносит в отдельный фонд сумму, которая вместе с начисляемым на нее процентом должна обеспечить погашение основной части кредита.

Пример 3. Чтобы получить 800 тыс. грн. в конце четырехлетнего перио­да при нулевом проценте, необходимо депонировать 800 : 4 = 200 тыс. грн. Если процентная ставка составит 10 %, тогда можно депонировать

5

FV = 800 х (1: X (1 + 0,1)5-) = 800 х 0,16 = 131 тыс. грн. в конце каждого года.

1

Разница четырех взносов (524,2 тыс. грн.) и полученной суммы составит 275,8 тыс. грн.

Настоящая стоимость обыкновенного аннуитета для денежного потока из n периодов рассчитывается по формуле:

1 1 1 (1 + Г )+(1 + г )2 + «' +(1 + Г )

= CFf —L , (9.18)

£(1 + Г •

Отдельные элементы денежного потока относятся к разным временным интервалам, поэтому их суммирование искажает реальную доходность инвести­ций. Приведение денежного потока к одному моменту времени осуществляется при помощи функции, называемой текущей стоимостью аннуитета.

Текущая стоимость обыкновенного аннуитета определяется по формуле:

PV = CFхF

где F4 — коэффициент дисконтирования настоящей стоимости аннуитета.

Пример 4. В результате осуществления инвестиционного проекта ежегодные доходы в течение 5 лет будут составлять по 500 тыс. грн.

Текущая стоимость денежных потоков составит:

3 1

РУ = 500———- = 500 (0,91 + 0,83 + 0,75 + 0,68 + 0,62) = 1895,4 тыс. грн.

1=\ (1 + 1)

В результате дисконтирования дохода за каждый период получим:

454,5 + 413,2 + 375,7 + 341,5 + 310,5 = 1895,4 тыс. грн.

В тех случаях, когда денежные поступления приходят в начале периода, настоящая стоимость авансового аннуитета для денежного потока из п перио­дов рассчитывают следующим образом:

РУ = СЯ х

Формула (9.20) применяется для определения текущей стоимости, если доходы, получаемые за каждый 1-й период, равны. При неравенстве доходов по временным периодам их получения рассчитывается дисконтированная стоимость за каждый период.

Для определения дохода, который необходимо получать ежегодно, чтобы возместить (окупить) инвестиции за определенный период времени с учетом процентной ставки, используется функция погашения кредита:

р5 = — =————- (9.21)

5 Т7 Л (л . -Л-ГС

Формула (9.21) применяется для определения суммы, которую необходимо ежегодно (ежеквартально) вносить в банк для погашения кредита и процентов по нему.

Ежегодный доход (аннуитет) определяется умножением суммы инвестиций на множитель Р5:

ГУ = 1С х Г5, (9.22)

где 1С — начальная сумма инвестиции (вложений).

пример 5. Инвестиции в проект составили 900 тыс. грн. Чтобы окупить инвестиции в течение 5 лет и получить доход в размере 10 % годовых, еже­годный денежный поток (аннуитет) должен составить:

РУ = 900 х —1— = 47,5 тыс. грн. 18,954

Настоящая стоимость бессрочного аннуитета определяется по формуле:

Г л \

1

(9.23)

РУ = СУ X

V г /

Бессрочным называется такой денежный поток, при котором денежные поступления продолжаются весьма длительное время (например, аренда на 50 лет и более).

и 1 1

При пго коэффициент ———— —> — .

г=1 (1 + г) Г

Формула (9.23) показывает максимальную цену, которую инвестор согла­сен заплатить за бессрочные денежные поступления. Для этого в числителе используют размер годовых поступлений, а в знаменателе в качестве коэф­фициента дисконтирования обычно принимается гарантированная процентная ставка (например, процент по государственным ценным бумагам).

Источник: https://all-sci.net/finansovyiy-analiz_729/annuitet-ili-finansovaya-194954.html

Финансовые ренты (аннуитеты)

Аннуитет (финансовая рента)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский Государственный Экономический Университет»

(ФГБОУ ВПО «УрГЭУ»)

Реферат

Тема: «Финансовые ренты (аннуитеты)»

Исполнитель:

Студент группа БД-12-1                                                    Незнамова А.В.

Руководитель:

Доцент кафедры прикладной математики                           Петрова С.Н.

кандидат педагогических наук

Екатеринбург, 2012

 2

Введение 3

Аннуитет или финансовая рента 4

Виды аннуитетов 6

Коэффициент аннуитета 8

Примеры расчёта. 9

Основные формулы 10

Сущность аннуитета 12

Классификация аннуитетов 13

Введение

   Особое значение для становления рыночной экономики в России имеет развитие таких процессов, как самофинансирование в его комплексном  понимании, а также наращивание функционирующего капитала,  прежде всего в первичном производственном звене – на предприятиях, в корпорациях и фирмах. Эти процессы опосредуются денежно-финансовыми механизмами – кредитными, налоговыми, бюджетными и т.д. 

В  большинстве современных  коммерческих операций подразумеваются  не  разовые  платежи,  а  последовательность  денежных  поступлений (или, наоборот, выплат)  в  течение определенного  периода.

  Это  может  быть  серия  доходов и  расходов  некоторого предприятия,  выплата  задолженностей,  регулярные  или  нерегулярные  взносы  для  создания  разного  рода  фондов.

Такая последовательность  называется  потоком  платежей. 

    Поток  однонаправленных платежей  с  равными  интервалами  между  последовательными платежами  в  течение  определенного  количества  лет  называется  аннуитетом (финансовой рентой).

Аннуитет или финансовая рента

Аннуите́т (фр. annuité от лат.

annuus — годовой, ежегодный) или финансовая рента — общий термин, описывающий график погашения финансового инструмента (выплаты вознаграждения или уплаты части основного долга и процентов по нему), когда выплаты устанавливаются периодически равными суммами через равные промежутки времени.

График погашения — это график, при котором выплата всей причитающейся суммы происходит в конце срока действия инструмента, или графика, при котором на периодической основе выплачиваются только проценты, а вся сумма основного долга подлежит к оплате в конце.

Аннуитетный график используется для того, чтобы накопить определённую сумму к заданному моменту времени, внося равновеликие вклады на счёт или депозит, по которому начисляется вознаграждение.

  В широком смысле, аннуитетом может называться как сам финансовый инструмент, так и сумма периодического платежа, вид графика погашения финансового инструмента или другие производные понятия, оттенки значения. Аннуитетом, например, является:

1) один из видов срочного государственного займа, по которому ежегодно выплачиваются проценты, и погашается часть суммы. Размер дохода обеспечивает постепенное погашение стоимости облигаций и процентов по ним.

 При этом доля процентов в общей сумме ежегодных платежей падает, а доля образовавшейся суммы долга возрастает, достигая максимума к моменту окончательного погашения займа. Аннуитеты дифференцируются на срочные и пожизненные.

 База аннуитета — уровень банковского рыночного процента на момент выпуска займа. В отличие от других видов займа аннуитеты не конвертируются.

    2) равные друг другу денежные платежи, выплачиваемые через определённые промежутки времени в счёт погашения полученного кредита, займа и процентов по нему.

Первоначально термин означал платежи, осуществляемые один раз в год, но сейчас он употребляется применительно к любым промежуткам времени, т.е. кварталу, месяцу и т.д. Существует аннуитет немедленный и отложенный.

Аннуитет может быть не только постоянным с последовательной выплатой равных платежей, но и переменным.

Аннуитет бывает непрерывным, когда платежи выплачиваются через определенные промежутки времени, бесконечным (вечным), неограниченным какими-либо сроками, например выплаты по облигационным займам с неограниченными сроками. При верном аннуитете платежи (рента) подлежат безусловной выплате, а при условном аннуитете платежи ставятся в зависимость от определенного события, как например личное страхование.

    3) соглашение или контракт со страховой компанией, по которому физическое лицо приобретает право на регулярно поступающие суммы, начиная с определенного времени, например, выхода на пенсию. С течением времени доля процента в аннуитете снижается, а доля погашения возрастает. В последний год аннуитет состоит из последней части долга по займу плюс процент за нее.

Теория аннуитетов применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т.д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам, выплаты по регрессным искам. 

   Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:

величиной каждого отдельного платежа;

интервалом времени между последовательными платежами (периодом аннуитета);

сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени – вечные аннуитеты);

процентной ставкой, применяемой при наращении или дисконтировании платежей. 

   Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) – самый распространенный случай.  

   Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью. Именно такие аннуитеты мы и изучим.

Виды аннуитетов

Более полное определение аннуитета: соглашение или контракт, по которому физическое лицо (аннуитент) с помощью внесения единовременного или ряда периодических платежей приобретает право регулярно получать равные платежи в течение определенного периода или пожизненно.

По времени выплаты первого аннуитетного платежа различают:

  • аннуитет  постнумерандо — выплата осуществляется в конце первого периода,
  • аннуитет пренумерандо — выплата осуществляется в начале первого периода.

Срочный аннуитет постнумерандо можно рассчитать как по схеме наращения, так и по схеме дисконтирования.

Формула оценки срочного аннуитета постнумерандо по схеме наращения имеет следующий вид:

FVpst = PV (1 + r)n-1 + PV (1 + r)n — 2 + … + PV (1 + r) + PV

Срочный аннуитет пренумерандо можно рассчитать как по схеме наращения, так и по схеме дисконтирования.

Формула оценки срочного аннуитета пренумерандо по схеме наращения имеет следующий вид:

FVpre=FVpst(l+ r) = PV [(1 +r)n- 1] (1 + r)/r.

Формула оценки срочного аннуитета пренумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:

PVpre = PVpst(l + r) = FV [1 — (1+r)-n ] (1 + r) / r.

Под бессрочным аннуитетом (вечная рента) понимается денежный поток с равными по величине поступлениями денежных средств в течение длительного срока через равные интервалы времени. Примером бессрочного аннуитета являются консоли (консолидированная рента) — долгосрочные государственные облигации со сроком обращения, превышающим 30 лет.

В случае бессрочного аннуитета поток равных платежей через равные интервалы в течение длительного периода времени рассматривается как бесконечный. При этом подразумевается, что в рамках выбранного интервала осуществляется только один платеж. В этой связи бессрочный аннуитет математически можно представить как бесконечность (n -> ∞) или как бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Бессрочный аннуитет (как разновидность денежного потока) можно классифицировать по моменту поступлений в выбранном интервале времени на потоки пренумерандо и постнумерандо.

Однако, в отличие от других денежных потоков, которые можно рассчитывать как по схеме наращения, так и дисконтирования, оценка бессрочного аннуитета способом наращения не имеет смысла, так как поток стремится к бесконечности и нельзя определить п.

Поэтому единственным способом остается обратный способ (способ дисконтирования).

При этом сначала рассчитывается приведенная стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо, а затем с его помощью приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо. Классификация способов оценки бессрочных аннуитетов приведена в таблице.

Способы оценки бессрочных аннуитетов

По  моменту поступления денежных средств  в выбранном временном интервале

Оценка  бессрочного аннуитета

по  схеме наращения

по схеме  дисконтирования

1) потоки с поступлениями в начале  выбранного интервала времени  — пренумерандо;

Не имеет  решения

Бессрочный  аннуитет пренумерандо

2) потоки с поступлениями в конце  выбранного интервала времени  — постнумерандо.

Не имеет  решения

Бессрочный  аннуитет постнумерандо

Формула оценки бессрочного аннуитета постнумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:

PVpst=A/r,

где А — одно денежное поступление за выбранный временной интервал.

Данная формула показывает, что приведенную стоимость можно рассчитать даже для денежного потока с неограниченным количеством платежей.

Так, при сроке аннуитета, превышающем 50 лет, и процентной ставке, равной 10%, разница между значениями коэффициентов дисконтирования незначительная.

Чем выше значение процентной ставки, тем меньше срок, при превышении которого разница между значениями коэффициента дисконтирования становится несущественной.

 всех других многообразных видов аннуитета находится в формате определения.

Виды аннуитета:

  • рента, контракт о ренте
  • контракт, по которому физическое лицо приобретает право на регулярно поступающие суммы
  • иск о взыскании ежегодной ренты
  • ежегодная выплата
  • финансовая рента
  • равные платежи, регулярно поступающие или выплачиваемые в течение определенного периода времени
  • пенсия
  • ежегодная выплата, установленная договором, завещанием или другим актом
  • арендная плата за право разработки месторождения (mining annuity)
  • рентные облигации. Представлены бессрочными облигациями британского правительства (консоль).
  • годовой взнос в счет амортизации или погашения займа
  • ежегодная пошлина
  • регулярные выплаты, производимые страховой компанией в пользу держателей полисов в течение определенного периода времени.

Коэффициент аннуитета

Коэффициент аннуитета превращает разовый платёж сегодня в платёжный ряд. С помощью данного коэффициента определяется величина периодических равных выплат по кредиту:

где i — процентная ставка за один период (всего периодов n),

n — количество периодов на протяжении всего действия аннуитета.

(следует учитывать, что данная формула является чисто математической, то есть на практике возможны некоторые девиации, вызванные округлением, а также неодинаковой продолжительностью месяца и года; особенно это касается последнего по сроку платежа).

Роль принципа аннуитета. Это один из базовых принципов современной финансовой системы, прежде всего инвестиционных отношений и страхования.

Предполагается, что выплаты производятся постнумерандо, то есть в конце каждого периода. И тогда величина периодической выплаты 

A = K·S,

где А — ежемесячный аннуитетный платёж,

К — коэффициент аннуитета,

S — сумма кредита.

Основные формулы

Обычно погашение долга предусматривает ежемесячные или ежеквартальные выплаты, и задаётся годовая процентная ставка i. Если выплаты производятся постнумерандо m раз в год в течение n лет, то точная формула для коэффициента аннуитета:

или по упрощенной формуле:

где k (всегда показатель степени) — количество периодов  n*m.

Будущая стоимость аннуитетных платежей

Будущая стоимость аннуитетных платежей предполагает, что платежи осуществляются на приносящий проценты вклад. Поэтому будущая стоимость аннуитетных платежей является функцией как величины аннуитетных платежей, так и ставки процента по вкладу.

Будущая стоимость серии аннуитетных платежей (FV) вычисляется по формуле (предполагается сложный процент):

где r — ставка процента,

n — количество периодов, в которые осуществляются аннуитетные платежи, X — величина аннуитетного платежа.

Аннуитет пренумерандо в рассматриваемом случае начисления процентов по аннуитетным платежам, имеет на один год начисления процентов больше. Поэтому формула для вычисления будущей стоимости аннуитета пренумерандо приобретает следующий вид:

В табличных процессорах в состав финансовых функций входит функция для вычисления будущей стоимости аннуитетных платежей. Для вычисления будущей стоимости аннуитетных платежей (как постнумерандо, так и пренумерандо) применяется функция FV.

Формула аннуитетного способа расчета.

Источник: https://www.yaneuch.ru/cat_75/finansovye-renty-annuitety/83005.1510224.page1.html

Refpoeconom
Добавить комментарий