6. Дифференциальные уравнения математической экономической теории

6. Дифференциальные уравнения математической экономической теории

6. Дифференциальные уравнения математической экономической теории

Чтобы по достоинству оценить идею, что дифференциальные уравнения математической экономической теории можно использовать в социалистическом экономическом расчете, мы должны вспомнить, что в действительности означают эти уравнения.

Разрабатывая идеальную конструкцию равномерно функционирующей экономики, мы предположили, что все факторы производства используются таким образом, что каждый из них оказывает наиболее высоко оцениваемые услуги из тех, что он фактически может оказать.

Никакое дальнейшее изменение направлений использования любого из этих факторов не может улучшить состояние удовлетворения потребностей в существующих условиях. Эта ситуация, в которой невозможно прибегнуть ни к какому изменению размещения факторов производства, описывается системой дифференциальных уравнений.

Однако эти уравнения не дают никакой информации о человеческих действиях, посредством которых достигается гипотетическое состояние равновесия.

Они говорят только о следующем: если в состоянии статического равновесия m единиц а используются для производства р, а n единиц а для производства q, то никакие дальнейшие изменения пропорций использования имеющихся в нашем распоряжении единиц а не смогут привести к приращению удовлетворения потребностей.

(Даже если мы предположим, что а совершенно делимо и будем считать единицу а бесконечно малой величиной, будет серьезной ошибкой утверждать, что предельная полезность а одинакова в обоих вариантах использования.) Состояние равновесия идеальная конструкция в чистом виде. В изменяющемся мире ее невозможно реализовать.

Она отличается от сегодняшнего состояния так же, как и от любого другого осуществимого положения дел.

В рыночной экономике именно предпринимательская деятельность постоянно перетасовывает меновые отношения и распределение факторов производства.

Предприимчивый человек обнаруживает расхождение между ценами на комплиментарные факторы производства и ожидаемыми им будущими ценами на продукцию и пытается воспользоваться этой разницей для своей выгоды. Разумеется, будущая цена, которую он имеет в виду, не является гипотетической равновесной ценой.

Ни один действующий субъект не имеет никакого отношения к равновесию и равновесным ценам; эти понятия чужды реальной жизни и деятельности; они являются вспомогательными инструментами праксиологического рассуждения, у которого нет других интеллектуальных способов постижения безостановочной неугомонности деятельности, кроме как противопоставить ее понятию абсолютного покоя. Для рассуждения теоретика каждое изменение является шагом вперед по дороге, которая при условии, что не появляется новых исходных данных, в конечном счете ведет к состоянию равновесия. Ни теоретики, ни капиталисты и предприниматели, ни потребители не в состоянии на основании знания существующего положения дел сформировать мнение о величине равновесной цены. Но в этом мнении нет никакой необходимости. К переменам и нововведениям человека побуждает не призрак равновесных цен, а ожидание определенных значений цен на ограниченное количество изделий на дату планируемой продажи. Начиная реализацию определенного проекта, предприниматель имеет в виду только первый шаг преобразований, которые приведут к состоянию равновесия, при условии, что не произойдет никаких других изменений в начальных данных, кроме тех, которые стимулируются его проектом.

Но для применения уравнений, описывающих состояние равновесия, требуется знание о последовательности расположения ценностей потребительских товаров в состоянии равновесия. Эта градация является одним из элементов этих уравнений, которые предполагаются известными. Однако руководителю известны только его текущие оценки, а не его шкала ценности в гипотетическом состоянии равновесия. Предположим, что он полагает, что относительно его текущих оценок распределение факторов производства является неудовлетворительным и желает их изменить. Но он ничего не знает о том, каковы будут его оценки в тот момент, когда равновесие будет достигнуто. Эти оценки будут отражать обстоятельства, сложившиеся в результате успешных изменений в производстве, провозглашенных им самим. Обозначим сегодняшний день через D1, а день, когда установится равновесие, через Dn. Согласно этому мы назовем следующие величины, соответствующие этим двум дням: шкала ценности благ первого порядка V1 и Vn, совокупное предложение[Предложение это совокупный запас, в котором все наличное предложение конкретизировано по классам и количествам. Каждый класс охватывает только такие статьи, которые имеют в каком-либо отношении (например, в том числе относительно их место- расположения) одинаковую важность для удовлетворения потребности.] первичных факторов производства О1 и Оn, совокупное предложение всех произведенных факторов производства P1 и Pn, сумму О1 + Р1 как М1, а сумму Оn + Рn как Мn. Наконец, обозначим состояние технологического знания через Т1 и Тn. Для решения уравнения требуется знание Vn, Оn + Рn = Мn и Тn. Но сегодня мы знаем только V1, О1 + Р1 = М1 и Т1.

Недопустимо предполагать, что значения этих величин для D1 равны значениям для Dn, потому что состояния равновесия нельзя будет достигнуть, если произойдут дальнейшие изменения начальных данных.

Отсутствие дальнейших изменений в начальных данных, что является необходимым условием для установления равновесия, касается только таких изменений, которые могут помешать приведению обстоятельств в соответствие с действием тех элементов, которые уже действуют сегодня.

Система не может достигнуть состояния равновесия, если новые элементы, проникающие извне, отклоняют ее от тех траекторий, которые ведут ее к установлению равновесия. Однако пока равновесие еще не достигнуто, система находится в постоянном движении, которое вносит изменения в исходные данные.

Движение к установлению равновесия, не прерываемое возникновением каких-либо изменений в исходных данных, приходящих извне, само по себе представляет собой последовательное изменение исходных данных. Пусть Р1 является набором величин, которые не соответствуют сегодняшним оценкам.

Он является результатом действий, которые направлялись прошлыми оценками и располагали технологическими знаниями и информацией о наличных ресурсах первичных факторов производства, отличающихся от настоящего состояния. Одной из причин того, почему система не находится в равновесии, является как раз тот факт, что Р1 не приведено в соответствие с условиями сегодняшнего дня.

С одной стороны, существуют заводы, инструменты и запасы других факторов производства, которые не существовали бы в условиях равновесия, а с другой стороны, для того, чтобы установилось равновесие, необходимо произвести другие заводы, инструменты и запасы.

Равновесие возникнет только тогда, когда эти возмущающие части Р1, насколько их еще можно использовать, будут изношены и заменены тем, что соответствует состоянию остальных синхронных данных, а именно V, O и T. Действующему субъекту необходимо знать не положение дел в условиях равновесия, а информацию о самых подходящих методах преобразования путем последовательных шагов P1 в Pn.

Относительно этой задачи уравнения бесполезны. С этими проблемами нельзя справиться, просто устранив P и положившись только на О. В самом деле, способ использования первичных факторов производства однозначно определяет количество и качество произведенных факторов производства, промежуточных продуктов. Но информация, которую можно получить таким путем, относится только к условиям равновесия.

Она ничего не сообщает нам о методах и процедурах, которые следует использовать для достижения равновесия. Сегодня мы сталкиваемся с запасом Р1, который отличается от состояния равновесия. Мы должны принимать во внимание реальное состояние, т.е. P1, а не гипотетические условия Рn.

Гипотетическое состояние равновесия появится, когда все методы производства будут приведены в соответствие с оценками действующих субъектов и с состоянием технологического знания. Тогда можно будет работать в самом подходящем месте с помощью самых подходящих технологий. Сегодняшняя экономика совсем иная.

Она работает с другими средствами, которые не соответствуют равновесному состоянию и которые нельзя учесть в системе уравнений, описывающих это состояние в математических символах. Знание обстоятельств, которые будут существовать в условиях равновесия, бесполезно для руководителя, которому приходится действовать в существующих обстоятельствах.

Все, что он должен узнать, это как наиболее экономичным образом распорядиться средствами, имеющимися у него сегодня, которые являются наследием эпохи, характеризовавшейся другими оценками, другим технологическим знанием и другой информацией о проблемах месторасположения. Он должен знать, какой следующий шаг ему совершить. Здесь уравнения ничем не могут помочь.

Предположим, что изолированной страной, экономические условия которой соответствуют условиям Центральной Европы в середине XIX в., правит диктатор, хорошо знакомый с американской технологией наших дней. У этого руководителя в целом сложилось представление о том, к каким целям он должен вести экономику страны, вверенной его попечению.

Несмотря на это даже исчерпывающее знание условий сегодняшней Америки не принесет ему никакой пользы для решения проблемы последовательного, шаг за шагом преобразования, самым подходящим и целесообразным путем, данной экономической системы в целевую систему.

Даже если ради поддержания дискуссии мы предположим, что вдохновение свыше позволит руководителю без помощи экономического расчета решить все проблемы, связанные с наиболее выгодной организацией всех видов производственной деятельности, и что точный образ конечной цели, к достижению которой он должен стремиться, имеется в его голове, все равно остаются важные проблемы, которые нельзя решить без экономического расчета, поскольку задача руководителя не начинать с самого начала цивилизации и не открывать экономическую историю на голом месте. Элементы, с помощью которых он должен действовать, это не только естественные ресурсы, не тронутые прежде. Это и капитальные блага, произведенные в прошлом и не адаптируемые или не полностью адаптируемые для использования в новых проектах. Именно в этих предметах материальной культуры, произведенных в обстоятельствах, которые характеризовались оценками, технологическим знанием и многими другими вещами, отличающимися от характеристик дня сегодняшнего, воплощено наше богатство. Их структура, качество, количество и расположение имеют первостепенную важность при выборе всех последующих экономических действий. Некоторые из них могут быть абсолютно непригодны для любого вида дальнейшего использования; они должны оставаться неиспользуемыми мощностями. Но большая их часть должна использоваться, если только мы не хотим начать все заново с крайней нищеты и лишений первобытного человека и хотим выжить в период, отделяющий нас от того дня, когда перестройка производственного аппарата в соответствии с новыми планами будет завершена. Руководитель не может просто возвести новое здание, не заботясь о своих подданных на протяжении периода ожидания. Он должен постараться максимально использовать каждую часть уже имеющихся капитальных благ. Не только технократы, но и социалисты всех оттенков постоянно повторяют, что реализация их честолюбивых планов обеспечивается огромным богатством, накопленным до этого. И в то же время они игнорируют тот факт, что это богатство в значительной степени состоит из капитальных благ, произведенных в прошлом и более или менее устаревших с точки зрения наших сегодняшних оценок и технологического знания. По их представлениям, единственная цель производства состоит в том, чтобы преобразовать производственный аппарат таким образом, чтобы сделать жизнь более изобильной для последующих поколений. Современники для них являются просто потерянным поколением, людьми, основная цель которых должна состоять в том, чтобы трудиться ради будущего. Однако реальные люди совсем другие. Они хотят не только создавать лучший мир, в котором будут жить их внуки, но и сами наслаждаться жизнью. Они хотят наиболее эффективным способом использовать те капитальные блага, которые имеются сейчас. Они стремятся к лучшему будущему, но хотят достичь этой цели самым экономичным образом. Осуществление этого желания не может обойтись без экономического расчета.

Считать, что состояние равновесия можно вычислить посредством математических действий на основе знания условий неравновесного состояния, было бы серьезной ошибкой. Не менее ошибочно было бы считать, что такое знание условий гипотетического состояния равновесия может принести какую-либо пользу человеку в его поиске наилучшего из возможных решений проблем, с которыми он сталкивается в своем каждодневном выборе и деятельности. Поэтому нет необходимости специально подчеркивать, что вымышленные цифры уравнений, которые каждый должен решать каждый день заново, чтобы на практике использовать этот метод, лишают смысла всю эту затею, даже если она и была разумной заменой экономическому расчету рынка[По поводу этой алгебраической проблемы см.: Pareto. Manuel d'??й??conomie politique. 2nd ed. Paris, 1927. P. 233 f.; Hayek. Collectivist Economic Planning. London, 1935. P. 207214. Поэтому создание электронных вычислительных машин не оказывает никакого влияния на нашу проблему.].

Источник: https://uchebnik-ekonomika.com/teoriya-economiki/differentsialnyie-uravneniya-matematicheskoy8260.html

Краткая теория. Глава 12. Дифференциальные уравнения

6. Дифференциальные уравнения математической экономической теории

Глава 12. Дифференциальные уравнения

12.1. Основные понятия

Краткая теория

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = f (x) и ее производные различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем виде записывается так:

F (x,y,y',y'', … y (n)) = 0.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = φ (x),

обращающая это уравнение в тождество.

Решение F (x,y) = 0, заданное в неявном виде, называется интегралом дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения n — го порядка называется функция

у = φ (х,С1,С2,… ,Сn),

зависящая от х и n произвольных независимых постоянных С1,С2,… ,Сn, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

Ф (х,y,С1,С2,… ,Сn) = 0,

называется общим интегралом.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего, если придать определенные значения произвольным постоянным, т.е. решение вида:

у = φ (х,С01,С02,… ,С0n),

где С01,С02,… ,С0n — фиксированные числа.

Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего путем

фиксирования произвольных постоянных:

Ф (х,y,С01,С02,… ,С0n) = 0,

где С01,С02,… ,С0n — фиксированные числа.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Краткая теория

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

F (x,у,у') = 0.(12.1)

Если это уравнение разрешимо относительно у', то

у' = f(х,у) или dу = f(x,y)dx.(12.2)

Это уравнение можно записать так:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. (12.3)

Общим решением уравнения (12.1) называется функция

y = φ(x,C)(12.4)

от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

Ф (x,y,C ) = 0,(12.5)

называется общим интегралом.

Геометрически общее решение (и общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра С.

Частным решением уравнения (12.1) называется решение, полученное из общего решения (12.4) при фиксированном значении С:

y = φ(x,C0)(12.6)

где C0 — фиксированное число.

Частным интегралом уравнения (1) называется интеграл, полученный из общего интеграла (5) при фиксированном значении С:

Ф (x,y,C0) = 0.(12.7)

Задача Коши. Найти решение у = f (х) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям: у = y 0 при х = х 0.

Другими словами: найти интегральную кривую уравнения (1), проходящую через данную точку М0 (х0,y0).

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Краткая теория

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Х(x)Y(y)dx + X1(x)Y1(y)dy = 0, (12.8)

где X(x) , X1(x) — функции только от х; Y(y), Y1(y) – функции только от у.

Уравнение (12.8) делением на произведение Y(y) X1(x) приводится к уравнению с разделенными переменными:

(12.9)

Общий интеграл уравнения (12.9)

(12.10)

Замечание. При делении на произведение Y(y) X1(x) можно потерять те решения уравнения (12.8), которое обращают это произведение в нуль.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция x = a, где а есть корень уравнения X1(x) = 0 , т.е. X1(a) = 0 , является решением уравнения (12.8).

Функция y = b, где b корень уравнения Y1(y) = 0 , т.е. Y1 (b) = 0, также является решением уравнения (12.8).

Решения x = a и x = b, если они имеются, геометрически представляют собой прямые линии, соответственно параллельные оси Oy и оси Ox.

1.Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(1+x2) dy — 2xy dx = 0.

Найти частное решение, удовлетворяющее условию: y = 1 при x = 0 .

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (коэффициент при dy — функция только от х , при dx – произведение функций, одна из которых зависит только от х , другая — только от у). Разделив обе части уравнения на произведение у (1+x2), получим уравнение с разделенными переменными

Интегрируя это уравнение, находим

ln |y| — ln (1+x2) = ln |C| или

откуда получаем общее решение: у = C (1+x2).

Чтобы найти искомое частное решение, достаточно определить значение С по начальным условиям: 1 = C (1+0), C = 1.

Следовательно, частное решение имеет вид

у = 1+ x2.

Замечание.При делении на y(1 + x2) предполагалось, что y(1+x2) ≠ 0, т.е. y ≠ 0, 1+x2 ≠ 0. Но у = 0 — решение уравнения, в чем можно непосредственно убедиться. Это решение получается из общего при С = 0.

2.Найти общий интеграл дифференциального уравнения

(xy2 + x)dx + (y — x2 y)dy = 0.

Вынося соответствующие множители за скобки, данное уравнение можно

записать так: x(y2+1)dx + y(1 — x2)dy = 0,

откуда видно, что это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего уравнения на произведение (y2 + 1)(1 — x2) ≠ 0 , получим

Интегрируя это уравнение, находим

— ln |1- x2| + ln |1 + y2| = ln |C| или

откуда получаем общий интеграл: 1 + y2 = C(1 — x2).

Проинтегрировать дифференциальные уравнения, найти указанные частные решения и построить их:

12.1. при .

12.2. при .

12.3. при .

12.4. при .

12.5. при .

12.6. при .

Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющими переменными:

12.7. 12.8. .12.9. .

12.10. .12.11. . 12.12. .


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/6_126035_kratkaya-teoriya.html

Уравнения математической физики, дифференциальные уравнения с частными производными

6. Дифференциальные уравнения математической экономической теории

Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978 (pdf)

Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики (2-е изд.). М.: Наука, 1969 (pdf)

Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972 (pdf)

Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Л.: ЛГУ, 1974 (pdf)

Бакельман И.Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений. М.: Наука, 1965 (pdf)

Бергман С. Интегральные операторы в теории линейных уравнений с частными производными. М.: Мир, 1964 (pdf)

Бернштейн С.П. Аналитическая природа решений дифференциальных уравнений эллиптического типа. Харьков: ХГУ, 1956 (pdf)

Беpc Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966 (pdf)

Брело М. О топологиях и границах в теории потенциала. М.: Мир, 1974 (pdf)

Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964 (pdf)

Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике (3-е изд.). М.: Наука, 1979 (pdf)

Векуа ИН. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.-Л. ГИТТЛ, 1948 (pdf)

Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука, 1975 (pdf)

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций (Обобщенные функции, выпуск 2). М.: Физматлит, 1958 (pdf)

Годунов С.К. Уравнения математической физики (2-е изд. ). М.: Наука 1979 (pdf)

Годунов С.К., Золотарева Е.В. Сборник задач по уравнениям математической физики. Новосибирск: Наука, 1974 (pdf)

Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М.: ИЛ, 1961 (pdf)

Гурса Э. Курс математического анализа, том 3, часть 1. Бесконечно близкие интегралы. Уравнения с частными производными. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (pdf)

Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений в частных производных первого порядка. Л.-М.: ОНТИ, 1934 (pdf)

Гюнтер Н. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: ГИТТЛ, 1953 (pdf)

Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, 1967 (pdf)

Егоров Д. Интегрирование дифференциальных уравнений (3-е изд.). М.: Печатня Яковлева, 1913 (pdf)

Егоров Д.Ф. Уравнения с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными. М.: МГУ, 1899 (pdf)

Егоров Ю.В., Шубин М.А., Комеч А.И. Дифференциальные уравнения с частными производными — 2 (серия «Современные проблемы математики», том 31). М.: ВИНИТИ, 1988 (pdf)

Зайцев Г.А. Алгебраические проблемы математический и теоретической физики. М.: Наука, 1974 (pdf)

Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988 (pdf)

Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. Среда из невзаимодействующих частиц. М.: Наука, 1973 (pdf)

Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. М.: ИЛ, 1950 (pdf)

Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989 (pdf)

Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983 (pdf)

Имшенецкий В.Г. Интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными 1-го и 2-го порядков. М.: Изд. Моск. мат. общества, 1916 (pdf)

Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными. М.: ИЛ, 1958 (pdf)

Калоджеро Ф., Дигасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985 (pdf)

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966 (pdf)

Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973 (pdf)

Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. М.: АН СССР, 1962 (pdf)

Коркин А.Н. Сочинения, том 1. СПб.: Императорская Академия Наук, 1911 (pdf)

Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968 (pdf)

Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972 (pdf)

Кошляков Н.С. Глинер Э.Б. Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970 (pdf)

Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964 (pdf)

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Том 1. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (pdf)

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Том 2. М.-Л.: ГТТИ, 1945 (pdf)

Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга 2. Дифференциальные уравнения с частными производными. Л.: Артиллерийская академия, 1934 (pdf)

Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М.: АН СССР, 1962 (pdf)

Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973 (pdf)

Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уралыдева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967 (pdf)

Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа (2-е изд.). М.: Наука, 1973 (pdf)

Лакс П., Филлипс Р. Теория рассеяния. М.: Мир, 1971 (pdf)

Ландис E.M. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971 (pdf)

Лаптев Г.И., Лаптев Г.Г. Уравнения математической физики. М.: 2003 (pdf)

Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972 (pdf)

Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производных. М.: Мир, 1972 (pdf)

Маделунг Э. Математический аппарат физики: Справочное руководство. М.: Наука, 1968 (pdf)

Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988 (pdf)

Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976 (pdf)

Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наук. думка, 1974 (pdf)

Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977 (pdf)

Миллер У. (мл.). Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981 (pdf)

Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957 (pdf)

Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.М.: Наука, 1976 (pdf)

Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968 (pdf)

Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977 (pdf)

Михлин С.Г. (ред.). Линейные уравнения математической физики. М.: Наука, 1964 (pdf)

Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Том 1. М.: ИЛ, 1958 (pdf)

Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Том 2. М.: ИЛ, 1960 (djvu)

Нагумо М. Лекции по современной теории уравнений в частных производных. М.: Мир, 1967 (pdf)

Назимов П.С. Об интегрировании дифференциальных уравнений. М.: МГУ, 1880 (pdf)

Нобл Б. Применение метода Винера — Хопфа для решения дифференциальных уравнений с частными производными. М.: ИЛ, 1962 (pdf)

Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений, Ереван: АН АрмССР, 1979 (pdf)

Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990 (pdf)

Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Наука, 1967 (pdf)

Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными (3-е изд.). М.: Наука, 1961 (pdf)

Расулов М.Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964 (pdf)

Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (2-е изд.) М.: Наука, 1978 (pdf)

Салтыков Н.Н. Исследования по теории уравнений с частными производными первого порядка одной неизвестной функции. Харьков, 1904 (pdf)

Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971 (pdf)

Синцов Д.М. Теория коннексов в пространстве в связи с теорией дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Казань: КГУ, 1894 (pdf)

Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. М.: Наука, 1964 (pdf)

Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики (6-е изд.). М.: Наука, 1973 (djvu)

Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970 (pdf)

Соболев С.Л. Уравнения математической физики (4-е изд.). М.: Наука, 1966 (pdf)

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (8-е изд.). М.: ГИФМЛ, 1959 (pdf)

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.). М.: Наука, 1977 (djvu)

Трев Ж. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1965 (pdf)

Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1966 (pdf)

Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1990 (pdf)

Хёрмандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. М.: ИЛ, 1959 (pdf)

Ховратович Д.В. Уравнения математической физики, МГУ (pdf)

Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Физматлит, 1965 (pdf)

Шишмарев И.А. Введение в теорию эллиптических уравнений. М.: МГУ, 1979 (pdf)

Источник: https://ikfia.ysn.ru/uravneniya-matematicheskoj-fiziki-differentsialnye-uravneniya-s-chastnymi-proizvodnymi/

Котенко А. А.. Основы теории дифференциальных уравнений для экономистов

6. Дифференциальные уравнения математической экономической теории
Журнал «Самиздат»: [Регистрация] [Найти] [и] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]

Зимние Конкурсы на ПродаМанPeклaмa
    Аннотация:В настоящем пособии изложены необходимые основы математического аппарата теории дифференциальных уравнений, приведены примеры решения каждого из рассмотренных типов уравнений и их использования в современных экономических задачах. Материал излагается без доказательств, так как основное внимание уделено применению математического аппарата на практике. В пособии собрано и классифицировано порядка 400 задач, в том числе и прикладных, различного уровня сложности. В конце каждого раздела предложены типовые задания для самостоятельной работы. В приложении приведено более 200 тестовых заданий по курсу. Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности «Математические методы в экономике» и другим экономическим специальностям.

КУПИТЬ ТУТ!!! В настоящее время математика интенсивно проникает в другие науки. Дифференциальные уравнения, как и многие другие математические задачи, являются мощным средством для решения прикладных задач. Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется различными количественными характеристиками, поэтому она и вобрала в себя большое число математических методов. В связи с этим математические дисциплины следует рассматривать как одну из важнейших составляющих в системе фундаментальной подготовки экономистов, особенно по специальностям 080116 «Математические методы в экономике» и 080601 «Статистика». К построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения, приводит исследование как природных процессов, так и изучение закономерностей развития общества. Например, дифференциальными уравнениями моделируются проблемы инфляции, государственного долга, экономического роста, безработицы, взаимосвязей денежного и реального рынков и др. В данном пособии изложены необходимые основы математического аппарата теории дифференциальных уравнений, приведены примеры решения каждого из рассмотренных типов уравнений и их использования в современных экономических задачах. Материал излагается без доказательств, так как основное внимание уделено применению математического аппарата на практике. Цель данного пособия — рассмотреть различные дифференциальные уравнения и наполнить математические упражнения экономическим содержанием. Большинство известных классических учебников и задачников по теории дифференциальных уравнений посвящено решению физических, химических и технических задач. Они имеют свою особенность. Каждая задача сформулирована в терминах той области знаний, для которой строится математическая модель. Что касается сборников задач по математике для экономистов, то зачастую специфика этих изданий заключается только в облегчении заданий. Однако существует немало экономических моделей, которые описываются не только уравнениями с разделяющимися переменными. Например, для моделирования инфляционных ожиданий используется уравнение гармонического осциллятора, часто применяемое в задачах по электротехнике. Кроме того, исследование устойчивости полученного решения для экономической модели не менее важно, нежели для модели из области физики, электротехники, гидравлики, оптики и других областей. В данном пособии собраны и классифицированы экономические задачи различного уровня сложности: начиная с простых задач экономической теории и заканчивая эконометрическими моделями, применяемыми в серьезных исследованиях. Все задачи формулируются с помощью терминологии, используемой в курсах микро- и макроэкономического моделирования. Некоторые рассмотренные задачи приведены только в качестве иллюстрации, так как подробно их решение разбирается на старших курсах. В конце многих разделов предложены типовые задания для самостоятельной работы, которые могут быть заданы студентам в качестве семестровой работы. Пособие состоит из восьми глав. В первой главе приводятся основные определения и понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также методика и типовые примеры составления уравнений. Вторая глава посвящена классификации и методам решения уравнений первого порядка: уравнений с разделяющимися переменными, однородных и неоднородных уравнений, уравнений Бернулли и в полных дифференциалах. В третьей главе изложены основные принципы понижения порядка уравнений, содержащих k > 1 производных. В четвертой главе рассмотрены однородные уравнения с постоянными коэффициентами, введено понятие характеристического уравнения и приведены все возможные способы получения общего решения такого уравнения. Пятая глава посвящена неоднородным уравнениям высших порядков с постоянными коэффициентами. Рассмотрен не только простейший случай — когда правая часть уравнения имеет специальный вид, но и общий случай, когда уравнение не удается решить с помощью подбора коэффициентов частного решения. Для решения такой задачи приведен метод вариации произвольных постоянных. Кроме того, рассмотрены метод суперпозиции решений и уравнение Эйлера, часто встречающееся в задачах эконометрического моделирования. В шестой главе изложены основные принципы решения систем из двух и трех дифференциальных уравнений. Рассматривается сведение системы к уравнению высших порядков. В качестве частных случаев приводятся линейные однородные и неоднородные системы с постоянными коэффициентами и их применение в экономике. Дана классификация траекторий решений линейных систем на плоскости. Седьмая глава посвящена исследованию решений уравнений и систем на устойчивость. Кроме основных понятий и определений рассмотрены способы исследования на устойчивость решений линейных систем с постоянными коэффициентами. В восьмой главе рассмотрены определение разностного уравнения и методы решения таких уравнений, имеющих постоянные коэффициенты (однородных, неоднородных, со специальной правой частью). Численным методам решения дифференциальных уравнений и примеры решенных задач на Matlab посвящено учебное пособие «Численные методы», вышедшее в издательстве URSS в 2010 году. Материал этого пособия является значительной частью курса «Численные методы», также изучаемого студентами указанных специальностей. В конце учебного пособия содержатся ответы и указания для заданий. Для наиболее сложных примеров и задач в тексте соответствующих глав приведены решения. Ответы к заданиям для самостоятельной работы размещены на web-странице настоящей книги в интернет-магазине PersonNameURSS.ru.

В разделе «Персоналии» (Приложение 3) даны краткие биографические сведения о математиках и экономистах, внесших вклад либо в развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений, либо в моделирование экономических систем.

Популярное на LitNet.com

К.Кострова «Скверная жена»(Любовное фэнтези) М.Лунёва «(не) детские сказки: Невеста черного Медведя»(Любовное фэнтези) М.Юрий «Небесный Трон 2″(Уся (Wuxia)) А.Светлый «Сфера: один в поле воин»(ЛитРПГ) Д.Сугралинов «Дисгардиум 5. Священная война»(Боевое фэнтези) А.Робский «Убийца Богов»(Боевое фэнтези) А.Вильде «Джеральдина»(Киберпанк) А.

Эванс «Дочь моего врага 2″(Любовное фэнтези) К.Федоров «Имперское наследство. Забытый осколок»(Боевая фантастика) А.Эванс «Дочь моего врага»(Любовное фэнтези) Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Батлер «Бегемоты здесь не водятся» М.Николаев «Профессионалы» С.

Лыжина «Принцесса Иляна» Как попасть в этoт список

Сайт — «Художники» .. || .. Доска об'явлений «Книги»

Источник: http://samlib.ru/a/alowa_eleonora_aleksandrowna/difur.shtml

10. Дифференциальные уравнения. Высшая математика

6. Дифференциальные уравнения математической экономической теории

10.1. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение уравнения. Задача Коши

10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка

10.1. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение уравнения. Задача Коши

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и её производные.

Общий вид ,

где n — порядок старшей производной, который определяет порядок дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения является всякая функция, которое превращает уравнение в тождество.

Примеры:

Общее решение — это решение, зависящее от произвольных констант или совокупность всех частных решений. Частное решение — это решение при фиксированном значении произвольных констант. Общий интеграл дифференциального уравнения:

Пример:

— дифференциальное уравнение в дифференциалах.

или

— общий интеграл.

Задача Коши. Начальные условия: и

Частное решение дифференциального уравнения должно удовлетворять и тому и другому условию.

10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

– уравнение, разрешенное относительно производной.

Теорема. О существовании и единственности решения (Теорема Ковалевской).

Пусть непрерывна в открытой области Д и .

Открытая область – это область без своей границы.

– существует и непрерывна в Д, гладкая по .

Пусть

Тогда имеется решение такое, что , и это решение единственное.

УРП (Дифференциальные уравнения 1-ого порядка с разделяющимися переменными).

— УРП, если .

— разделение переменных

— общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример:

Однородное уравнение 1-ого порядка.

— называется однородным если функция , является однородной функцией, нулевого измерения.

— однородная функция n-ого измерения если

(0-е измерение)

(2-ого порядка)

(неоднородная)

Введем новую функцию:

Уравнение примет вид:

— уравнение с разделяющимися переменными

Пример:

Линейные уравнение 1-ого порядка и их решение

Уравнение называется линейным, если его можно записать в следующем виде: , где и — произвольные функции от .

— линейное уравнение без правой части.

Два метода решения линейных уравнений:

  1. Метод Бернулли
  2. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)
    1. Метод Бернулли: замена неизвестной функции y(x) на произведение двух неизвестных функций

Выберем так, чтобы .

— уравнение без правой части.

(2)

— удовлетворяет уравнению (2).

Пример:

1)

2)

10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное дифференциальное уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

(****), и — константы – неоднородное или с правой частью.

(***) — однородное или без правой части.

— общее решение уравнения (****), где — общее решение соответствующего однородного уравнения (***),.где и — произвольные постоянные, а и — линейно независимые решения (***).

— какое-либо частное решение уравнение (****).

Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами без правой части.

Будем искать и в виде .

Подставим в уравнение (***).

— характеристическое уравнение для уравнения (***).

Случай 1)

и — действительные различные корни.

Случай 2)

, где — корень уравнения кратности 2.

Подставим в уравнение (***).

, так как — это корень.

Случай 3) , где -мнимая единица .

Подставим в уравнение (***).

— линейно независимые, следовательно:

Пример:

          Решение линейных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами с правой частью.

          — ищется в таком же виде, в котором задана правая часть.

          а)

          ,где А — неопределенный коэффициент.

          Пример:

          б)

          Общий случай

          — характеристическое уравнение.

          а) Если не корень характеристического уравнения:

          б) Если корень характеристического уравнения кратности

          1

          2

          2

          0

          1

          2

          0

          -1

          1

          2

          1

          -1

          1

          2

          0

          i

          1

          2

          1

          i

          1

          2

          0

          1

          1

          2

          2

          1

          1

          2

          0

          1+i

          0

          1

          2

          0

          2

          2

          0

          2

          2

          2

          1

          2

          i

          -i

          0

          i

          2+i

          2-i

          0

          2

          2+i

          2-i

          0

          2+i

          Теорема. Если , то , где отвечает за

          , а отвечает за . — частное решение уравнения , а — частное решение уравнения .

          Общая классификация дифференциальных уравнений

          Источник: https://siblec.ru/matematika/vysshaya-matematika/10-differentsialnye-uravneniya

          Refpoeconom
          Добавить комментарий