3. Неравенство

Тема 4. Неравенства и системы неравенств — Материалы для подготовки к вступительным экзаменам в СГГА

3. Неравенство

    При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения вы можете найти в любом пособии для поступающих в вузы.     Напомним свойства числовых неравенств.    1. Если а > b , то b < а; наоборот, если а < b, то b > а.    2. Если а > b и b > c, то а > c. Точно так же, если а < b и b < c, то а < c.    3. Если а > b, то а + c > b+ c (и  а – c > b – c). Если же а < b, то а + c < b+ c (и а – c < b – c). Т. е. к обеим частям неравенства можно прибавлять (или из них вычесть) одну и ту же величину.    4. Если а > b и c > d, то а + c > b + d; точно так же, если а < b и c < d, то а + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.Замечание. Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 3 > 2, то получим верное неравенство 8 > 7. Если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 7 > 2, то полученное неравенство будет неверным.    5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d; если а < b и c > d, то а – c < b – d, т.е. из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.    6. Если а > b и m – положительное число, то m а > m b и  , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ( знак неравенства остаётся тем же ).    Если же а > b и n – отрицательное число, то n а < n b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.    7. Если а > b и c > d , где а, b, c, d > 0, то а c > b d и если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd, т.е. неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.Следствие. Если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2, т.е. на множестве положительных чисел обе части неравенства можно возводить в квадрат.    8. Если а > b, где а, b > 0, то  и если а < b , то . Пример 1. Решить неравенство .    Решение:          .    Ответ: х < – 2. Пример 2. Решить систему неравенств      Решение:         .    Ответ: (– 2; 0].Пример 3. Найти наименьшее целое решение системы неравенств     Решение:            Ответ:  Пример 4. Решить неравенство х2 > 4.    Решение:        х2 > 4   (х – 2)∙(х + 2) > 0.        Решаем методом интервалов.         Ответ:Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х2 – 2х + 1) > 0.     Решение:              Ответ: .  Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х2 – 24х + 24 < 4у2, где   .    Решение:        Область определения неравенства: .        С учётом области определения 4х2 – 24х + 24 < 4у2 будет равносильно неравенству         Решаем методом интервалов.                Решение неравенства: .        Середина отрезка: .    Ответ: . Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству .    Решение:                                      Методом интервалов:        Решение неравенства: .        Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1.     Ответ:  – 6; – 5; – 4; 1. Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.Пример 8. Решить неравенство .    Решение:            Область определения: .        Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то .    Ответ: .Пример 9. Найти все целые решения неравенства .    Решение:        Область определения .        – быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства , при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе .         Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.    Ответ: 2; 3; 4.Пример 10. Решить неравенство .    Решение:        Область определения:          Преобразуем неравенство: . С учётом области определения видим, что обе части неравенства —  положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное  исходному.         т.е. , и этот числовой отрезок включён в область определения.    Ответ: .Пример 11. Решить неравенство .    Решение:        Раскрываем знак модуля.                Объединим решения систем 1) и 2): .    Ответ: Пример 12. Решите неравенство .    Решение:                      .    Ответ: .Пример 13. Решите неравенство .    Решение:        .    Ответ: .Пример 14. Решите неравенство .    Решение:            Ответ: .Пример 15. Решите неравенство .    Решение:            Ответ: .        1) Решите неравенство 2х – 5 ≤ 3 + х.    2) Решите неравенство – 5х > 0,25.     3) Решите неравенство .    4) Решите неравенство 2 – 5х ≥ – 3х.    5) Решите неравенство х + 2 < 5x – 2(x – 3).    6) Решите неравенство  .    7) Решите неравенство (х – 3) (х + 2) > 0.    8) Решить систему неравенств      9) Найдите целочисленные решения системы неравенств .     10) Решить систему неравенств .    11) Решить систему неравенств      12) Найти наименьшее целое решение неравенства      13) Решите неравенство .    14) Решите неравенство .    15) Решите неравенство .    16) Решите неравенство .    17) Найдите решение неравенства , принадлежащие промежутку .    18) Решить систему неравенств      19) Найти все целые решения системы      20) Решите неравенство .    21) Решите неравенство .    22) Определите число целых решений неравенства .    23) Определите число целых решений неравенства .    24) Решите неравенство .    25) Решите неравенство 2×0 .    47) Решите неравенство .    48) Решите неравенство .    49) Решите неравенство .    50) Решите неравенство logx+112>logx+12 .    51) Решите неравенство logx92x.    54) Решите неравенство 2│х + 1| > х + 4.    55) Найдите наибольшее целое решение неравенства .    56) Решить систему неравенств      57) Решить систему неравенств .    58) Решите неравенство .    59) Решите неравенство 25•2x-10x+5x>25 .    60) Решите неравенство .1) х ≤ 8; 2) х < – 0,05; 3) х ≥ 5; 4) х ≤ 1; 5) х > –2; 6) х < 11; 7) ; 8) (-2;0]; 9) – 1; 10) х ≥ 7,5;               11); 12) 1; 13); 14) х ≤ – 0,9; 15) х < – 1; 16) х < 24; 17); 18) ; 19) 3, 4, 5; 20) (0; 2); 21) (0; 1,5); 22) 3; 23) 6; 24) (–1; 1,5); 25) х < 4; 26); 27) (– 3; 17);                                           28); 29) – 10; 30) (0; + ∞); 31); 32) [1;17); 33) x > 17; 34) х ≥ 2; 35);   36) х < 2; 37) х > 0; 38) х ≤ 3; 39) х > – 3,5; 40) х > – 0,5; 41) 0, 1, 2, 3, 4, 5; 42) х < 3; 43) ; 44) х < 1;                           45) 46) (– 1,5; – 1); 47) х < 0; 48); 49) ; 50) х > 0;            51) ; 52) ; 53) х < 1; 54); 55) – 1; 56) ; 57) [3,5; 10]; 58) (0, 1); 59) (0; 2); 60) .

Источник: https://www.sites.google.com/a/ssga.ru/ssga4school/matematika/tema-4

Линейные неравенства, примеры, решения

3. Неравенство

После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения.  Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Определение 1

Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a·x+b>0, когда вместо > используется любой знак неравенства c и 0·x0 в первом, и a·x>c – во втором;

  • допустимости равенства нулю коэффициента a, a≠0 — в первом, и a=0 — во втором.
  • Считается, что неравенства a·x+b>0 и a·x>c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0·x+5>0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем  случай а=0 не подойдет.

    Определение 3

    Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x  считаются неравенства вида a·x+b0, a·x+b≤0 и a·x+b≥0, где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

    Исходя из правила, имеем, что 4·x−1>0, 0·z+2,3≤0, -23·x-27, −0,5·y≤−1,2 называют сводящимися к линейному.

    Как решить линейное неравенство

    Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x, ≥), p являющееся некоторым числом, при a≠0, а вида a, ≥) при а=0.

    Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

    Используя равносильные преобразования

    Чтобы решить линейное неравенство вида a·x+b, ≥), необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

    Определение 4

    Алгоритм решение линейного неравенстваa·x+b, ≥) при a≠0

    • число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a·x, ≥);
    • будет производиться деление обеих частей неравенства  на число не равное 0. Причем , когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

    Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

    Пример 1

    Решить неравенство вида 3·x+12≤0.

    Решение

    Данное линейное неравенство имеет a=3 и b=12. Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

    Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3·x≤−12. Необходимо произвести деление обеих частей на 3. Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3·x):3≤(−12):3, что даст результат x≤−4.

    Неравенство вида x≤−4 является равносильным. То есть решение для 3·x+12≤0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4. Ответ записывается в виде неравенства x≤−4, или числового промежутка вида (−∞, −4].

    Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

    3·x+12≤0;  3·x≤−12;  x≤−4.

    Ответ: x≤−4 или (−∞, −4].

    Пример 2

    Указать все имеющиеся решения неравенства −2,7·z>0.

    Решение

    Из условия видим, что коэффициент a при z равняется -2,7, а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

    Производим деление обеих частей уравнения на число -2,7. Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (−2,7·z):(−2,7)0 получим значение -35. Изобразим графически.

    Решение неравенства со знаком >, тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше Ох. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

    Необходимый промежуток является частью Ох красного цвета. Значит, открытый числовой луч -∞, -35 будет решением неравенства.  Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки -35 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с Ох.

    Ответ: -∞, -35 или x0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид −2·x+5>0, а для приведения второго получаем, что 7·(x−1)+3≤4·x−2+x. Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

    7·x−7+3≤4·x−2+x 7·x−4≤5·x−2 7·x−4−5·x+2≤0 2·x−2≤0

    Это приводит решение к линейному неравенству.

    Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

    Для решения такого вида неравенства  такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

    Определение 9

    • раскрыть скобки;
    • слева собрать переменные, а справа числа;
    • привести подобные слагаемые;
    • разделить обе части на коэффициент при x.

    Пример 9

    Решить неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

    Решение

    Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5·x+15+x≤6·x−18+1. После приведения подобных слагаемых имеем, что 6·x+15≤6·x−17. После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6·x+15−6·x+17≤0.  Отсюда имеет неравенство вида 32≤0 из полученного при вычислении 0·x+32≤0. Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

    Ответ: нет решений.

    Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 52·x−1≥1является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2·x−1≥0. Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида. 

    Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/linejnye-neravenstva-primery-reshenija/

    Решение линейных неравенств

    3. Неравенство

    Неравенство это выражение с , ≤, или ≥. Например, 3x — 5 < 6 - 2x является неравенством. Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно.

    Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений.

    Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами.

    Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

    Принципы решения неравенств

    Для любых вещественных чисел a, b, и c:
    Принцип прибавления неравенств: Если a < b верно, тогда a + c < b + c также верно.
    Принцип умножения для неравенств: Если a < b и c > 0 верно, тогда ac < bc также верно.Если a < b и c < 0 верно, тогда ac > bc также верно. Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.

    Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами.

    Пример 1 Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.

    a) 3x — 5 < 6 - 2xb) 13 - 7x ≥ 10x - 4

    Решение

    3x — 5 < 6 - 2xИспользуя принцип прибавления для неравенств, прибавляем 2x
    5x — 5 < 6Используя принцип прибавления для неравенств, прибавляем 5
    5x < 11Используя принцип умножения для неравенств, умножаем или делим на 5
    x < 11/5

    Любое число, меньше чем 11/5, является решением.Множество решений есть {x|x < 11/5}, или (-∞; 11/5). Изображение множества решений показано ниже.
    Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y1 = 3x — 5 и y2 = 6 — 2x. Тогда отсюда видно, что для x < 2,2, или x < 11/5, график y1 находится ниже графика y2, или y1 < y2.

    13 — 7x ≥ 10x — 4вычитаем 10x
    13 — 17x ≥ -4вычитаем 13
    -17x ≥ -17Делим на 17 и меняем знак неравенства
    x ≤ 1

    Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже.

    Двойные неравенства

    Когда два неравенства соединены словом и, или, тогда формируется двойное неравенство.Двойное неравенство, как-3 < 2x + 5

    и 2x + 5 ≤ 7

    называется соединённым, потому что в нём использовано и. Запись -3 < 2x + 5 ≤ 7 является сокращением для предыдущего неравенства.Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

    Пример 2 Решите -3 < 2x + 5 ≤ 7. Постройте график множества решений.

    Решение У нас есть

    Множество решений есть {x| — 4 < x ≤ 1}, или (-4, 1]. График множества решений изображён ниже. Двойное неравенство, как 2x — 5 ≤ -7 или называется разделённым, потому что оно содержит или. В отличие от некоторых соединённых неравенств, оно не может быть сокращено; поэтому, оно не может быть записано без или.

    Пример 3 Решите 2x — 5 ≤ -7 или 2x — 5 > 1. Постройте график множества решений.

    Решение У нас есть

    -3 < 2x + 5 ≤ 7Вычитаем 5
    -8 < 2x ≤ 2Делим на 2
    -4 < x ≤ 1.

    2x — 5 ≤ -7 или 2x — 5 > 1.Прибавляем 5
    2x ≤ -2 или 2x > 6Делим на 2
    x ≤ -1 или x > 3.

    Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

    Для проверки, нарисуем y1 = 2x — 5, y2 = -7, и y3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y1 ≤ y2 или y1 > y3.

    Неравенства с абсолютным значением (модулем)

    Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.Для а > 0 и алгебраического выражения x:|x| < a эквивалентно -a < x < a.

    |x| > a эквивалентно x < -a или x > a.

    Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.Например, |x| < 3 эквивалентно -3 < x < 3;

    |y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;

    и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

    Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.a) |3x + 2| < 5

    b) |5 — 2x| ≥ 1

    Решение
    a) |3x + 2| < 5

    -5 < 3x + 2 < 5Вычитаем 2
    -7 < 3x < 3Делим на 3
    -7/3 < x < 1

    Множеством решением есть {x|-7/3 < x < 1}, или (-7/3, 1). График множества решений изображен ниже.

    b) |5 — 2x| ≥ 1

    |5 — 2x| ≤ -1 или 5 — 2x ≥ 1Вычитаем 5
    -2x ≤ -6 или -2x ≥ -4Делим на -2 и меняем знак неравенства
    x ≥ 3 или x ≤ 2

    Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] [3, ∞).

    График множества решений изображен ниже.

    Пример 5Планы выплат. За выполнение малярных работ, Эрику может быть выплачена заработная плата одним из двух способов:План A: \$250 плюс \$10 в час; План B: $20 в час.

    Предположим, что работа занимает n часов. Для каких значений n план B лучше для Эрика?

    Решение

    1. Понимание задачи. Предположим, что работа отнимет 20 часов. Тогда n = 20, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,20, или \$250 + \$200, или \$450. Его заработок согласно плану B составит \$20,20, или \$400. Это показывает, что план A лучше для Эрика, если он будет работать 20 часов.

    Подобным образом, если он будет работать 30 часов, тогда n = 30, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,30, или\$250 + \$300, или \$550. При плане B, он заработает \$20,30, или \$600, поэтому план B лучше в этом смысле.

    Чтобы определить все значения n, для которых план B является лучшим для Эрика, составим и решим неравенство.

    2. Составление неравенства. Запишем это в виде неравенства.
    Доход от плана B больше, чем доход от плана A.

    20n > 250 + 10n

    3. Решим неравенство:

    20n > 250 + 10nВычитаем 10n из двух сторон
    10n > 250Делим на 10 обе стороны
    n > 25

    4. Проверка.

    Для n = 25 выплаты согласно плану A составят: \$250 + \$10,25, или \$250 + \$250,или \$500, и выплаты согласно плану B составят \$20,25, или \$500. То есть, для работы длительностью менее 25 часов,доход одинаков для каждого плана. Согласно плану B выплаты больше для работы, которая занимает больше 30-и часов.

    Так как 30 > 25, это обеспечивает частичную проверку результата, но мы не можем проверить все значения n.
    5. Вывод . Для значений, n больше, чем 25 часов, план B является лучшим.

    Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/reshenie-lineinih-neravenstv/index.html

    Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств

    3. Неравенство

    Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

    -уроки на канале Ёжику Понятно.

    страницы:

    Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак     =     поменять на любой из знаков неравенства:

    >    больше,

    ≥    больше или равно,

    18

    − 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

    Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как    − 3 − 8 x + 48

    − 8 x + 8 x > 48 − 6

    0 > 42

    Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

    Ответ: x ∈ ∅

    Квадратные неравенства

    Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c , или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

    Если знак неравенства 0 ⇒ будет два различных действительных корня

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

    Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

    x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет   +.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

    Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

    Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

    №2. Решить неравенство    − 3 x − 2 ≥ x 2 .

    Решение:

    Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

    − 3 x − 2 ≥ x 2

    − x 2 − 3 x − 2 ≥ 0

    − x 2 − 3 x − 2 = 0

    a = − 1, b = − 3, c = − 2

    D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

    D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

    x 1 = − 2, x 2 = − 1

    Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

    − x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0 2 x + 3 ≤ x 2

    Алгоритм решения системы неравенств

    1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
    1. Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
    1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.
    1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

    Примеры решений систем неравенств:

    №1. Решить систему неравенств   { 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

    Решение:

    Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

    1. Решаем первое неравенство системы.

    2 x − 3 ≤ 5  

    2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку  2 > 0,  знак неравенства после деления сохраняется.

    x ≤ 4 ;

    Графическая интерпретация:

    Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

    1. Решаем второе неравенство системы.

    7 − 3 x ≤ 1

    − 3 x ≤ 1 − 7

    − 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ),  поскольку  − 3 12 |   ÷ 2 ,  поскольку  2 > 0,  знак неравенства после деления сохраняется.

    x > 6

    Графическая интерпретация решения:

    1. Наносим оба решения на ось x.
    1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

    Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

    Ответ:   x ∈ ∅

    №4. Решить систему неравенств   { x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

    Решение:

    Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

    1. Решаем первое неравенство системы.

    x + 4 > 0

    x > − 4

    Графическая интерпретация решения первого неравенства:

    1. Решаем второе неравенство системы

    2 x + 3 ≤ x 2

    − x 2 + 2 x + 3 ≤ 0

    Решаем методом интервалов.

    − x 2 + 2 x + 3 = 0

    a = − 1, b = 2, c = 3

    D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

    D > 0 — два различных действительных корня.

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

    Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

    Графическая интерпретация решения второго неравенства:

    1. Наносим оба решения на ось x.
    1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

    Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения  ∪ .

    Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

    Ответ:   x ∈ ( − 4 ; − 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ )

    Скачать домашнее задание к уроку 8.

    Источник: https://epmat.ru/modul-algebra/urok-8-neravenstva-sistemy-neravenstv/

    Refpoeconom
    Добавить комментарий